NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 236

Podstawy trapezu są równoległe, więc stosujemy $A_1B_2=A_2B_1$.

a)

$$-6(m+1)=4m,\qquad -10m=6,\qquad m=-\frac35.$$

b)

$$9(1-m^2)=8(-m^2),\qquad 9-m^2=0,\qquad m=\pm3.$$

Równanie prostej zapisujemy jako $y=2x+m$, czyli dla punktu $(x,y)$ parametr ma wartość $m=y-2x$. Funkcja $y-2x$ na odcinku przyjmuje wszystkie wartości między wartościami na końcach.

a) Dla $A$: $m=0-2(-2)=4$; dla $B$: $m=-4-0=-4$. Zatem $m\in[-4,4]$.

b) Dla $A$: $m=2$; dla $B$: $m=2-12=-10$. Zatem $m\in[-10,2]$.

Ze skanu odczytujemy prostokąt $[2,7]\times[1,4]$. Prosta ma postać $y=mx$ i przechodzi przez początek układu.

Skrajne proste dotykające prostokąta przechodzą przez wierzchołki $(7,1)$ i $(2,4)$, więc mają współczynniki

$$m_1=\frac17,\qquad m_2=2.$$

Dla $m\in(\frac17,2)$ prosta wchodzi do prostokąta przez jeden bok i wychodzi przez drugi, dając dwa punkty. Dla wartości skrajnych dotyka jednego wierzchołka. Poza tym zakresem omija prostokąt.

Ponieważ $a\ne0$ i $b\ne0$, wszystkie dzielenia są dozwolone. Mamy

$$\frac{x}{-b/a}+\frac{y}{b} =-\frac{ax}{b}+\frac{y}{b} =\frac{-ax+y}{b}.$$

Z równania $y=ax+b$ wynika $-ax+y=b$, więc ostatni iloraz jest równy $1$.

W równaniu odcinkowym mianowniki są współrzędnymi przecięć z osiami.

• a) punkty $(8,0)$ i $(0,6)$. Z $\frac{x}{8}+\frac{y}{6}=1$ otrzymujemy $3x+4y=24$, czyli $y=-\frac34x+6$;
• b) punkty $(5,0)$ i $(0,-3)$. Mamy $3x-5y=15$, czyli $y=\frac35x-3$;
• c) punkty $(-1,0)$ i $(0,4)$. Mamy $-x+\frac14y=1$, czyli $y=4x+4$.

Usuwamy mianowniki i wyznaczamy $y$:

• a) $3x+y=9$, więc $y=-3x+9$; współczynnik $-3<0$, funkcja malejąca;
• b) $-x+2y=4$, więc $y=\frac12x+2$; funkcja rosnąca;
• c) $x-4y=8$, więc $y=\frac14x-2$; funkcja rosnąca.

W równaniu $y=ax+b$ przecięcia wynoszą $(0,b)$ oraz $(-b/a,0)$.

• a) dla $y=2x+6$: $p=-3$, $q=6$;
• b) dla $y=\frac23x-4$: $p=6$, $q=-4$;
• c) dla $y=-\frac34x+\frac14$: $p=\frac13$, $q=\frac14$.