NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 235

Ze skanu odczytujemy po dwa zaznaczone punkty.

a) Punkty $(0,-1)$ i $(3,0)$ dają $y=\frac13x-1$, czyli $x-3y-3=0$. Dla $A$ prawa strona funkcji wynosi $-\frac{13}{3}\ne-5$, a dla $B$ wynosi $-2\ne\frac83$.

b) Punkty $(-2,0)$ i $(1,-4)$ dają $y=-\frac43x-\frac83$, czyli $4x+3y+8=0$. Ani $A$, ani $B$ nie spełnia równania.

c) Punkty $(-2,1)$ i $(2,4)$ dają $y=\frac34x+\frac52$, czyli $3x-4y+10=0$. Punkt $A$ spełnia równanie, natomiast $B$ nie.

W każdym podpunkcie podstawiamy najpierw $x=0$, a potem $y=0$:

• a) $y=2x+2$: $(0,2)$ i $(-1,0)$;
• b) $y=-2x+1$: $(0,1)$ i $(\frac12,0)$;
• c) $y=3x+4$: $(0,4)$ i $(-\frac43,0)$;
• d) $y=\frac23x-3$: $(0,-3)$ i $(\frac92,0)$;
• e) $y=\frac14x-4$: $(0,-4)$ i $(16,0)$;
• f) $y=-6x+3$: $(0,3)$ i $(\frac12,0)$.

Każda para punktów wyznacza żądany szkic prostej.

Ze skanu odczytujemy wierzchołki, a równanie każdego boku wyznaczamy z jego dwóch końców.

a) $A(-2,-1)$, $B(3,-1)$, $C(4,2)$, $D(-1,2)$:

$$AB:y+1=0,\quad DC:y-2=0,\quad AD:3x-y+5=0,\quad BC:3x-y-10=0.$$

b) $A(-2,0)$, $B(2,-2)$, $C(2,1)$, $D(-2,3)$:

$$AB:x+2y+2=0,\quad DC:x+2y-4=0,\quad AD:x+2=0,\quad BC:x-2=0.$$

c) $A(-1,-1)$, $B(5,1)$, $C(3,3)$, $D(-3,1)$:

$$AB:x-3y-2=0,\quad DC:x-3y+6=0,\quad AD:x+y+2=0,\quad BC:x+y-6=0.$$

Dla prostych ogólnych równoległość oznacza proporcjonalność współczynników $A$ i $B$. Prosta odniesienia ma parę $(4,3)$. Stosujemy warunek $A\cdot3=4\cdot B$:

• a) $3m=4\cdot6$, więc $m=8$;
• b) $3(2m+1)=4(-1)$, więc $m=-\frac76$;
• c) $3(m-\frac12)=4(-\frac12)$, więc $m=-\frac16$;
• d) $3\cdot\frac m6=4(-\frac34)$, więc $m=-6$;
• e) $3=4m$, więc $m=\frac34$;
• f) $3\cdot\frac13=4(-2m)$, więc $m=-\frac18$.

Ponieważ $A_2,B_2,C_2\ne0$, druga prosta przecina osie w punktach

$$P\left(-\frac{C_2}{A_2},0\right),\qquad Q\left(0,-\frac{C_2}{B_2}\right).$$

Obie proste są takie same, więc $P$ i $Q$ spełniają także pierwsze równanie. Dla $P$:

$$-A_1\frac{C_2}{A_2}+C_1=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{A_1}{A_2}=\frac{C_1}{C_2}.$$

Dla $Q$ analogicznie:

$$-B_1\frac{C_2}{B_2}+C_1=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}.$$

Łącząc równości, otrzymujemy tezę.