NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 232 — rozwiązania zadań

Zadanie 7

Tutaj należy połączyć warunek trójkąta równoramiennego wyznaczonego przez osie z informacją o znaku funkcji lub jej punkcie i odtworzyć równanie prostej.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Trójkąt ma przyprostokątne na osiach, więc jest równoramienny dokładnie wtedy, gdy bezwzględne wartości obu punktów przecięcia z osiami są równe.

a) Miejsce zerowe wynosi $3$ . Funkcja jest ujemna dla $x>3$ , więc jest malejąca, a drugie przecięcie musi być $(0,3)$ . Prosta przez $(3,0)$ i $(0,3)$ ma wzór $y=-x+3$ .

b) Jedno przecięcie to $(0,-4)$ , więc drugie może być $(4,0)$ albo $(-4,0)$ . Otrzymujemy odpowiednio $y=x-4$ lub $y=-x-4$ .

Odpowiedź

a) $y=-x+3$ ; b) $y=x-4$ lub $y=-x-4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

Celem ćwiczenia jest to, by dla trzech punktów wykresu proporcjonalności prostej obliczyć iloraz wartości przez argument i zapisać wzór z otrzymanym współczynnikiem.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla proporcjonalności $y=kx$ obliczamy $k=\frac yx$ :

a) $k=15:\frac52=6$ ;
b) $k=\frac32:\frac94=\frac23$ ;
c) $k=\frac{14}{5}:\frac72=\frac45$ .

Odpowiedź

a) $y=6x$ ; b) $y=\frac23x$ ; c) $y=\frac45x$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

W tym przykładzie trzeba ze wzorów na obwód i pole kwadratu uzasadnić liniową zależność obwodu od boku oraz brak takiej proporcjonalności dla pola.

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech $a>0$ oznacza bok kwadratu.

a) Obwód wynosi $Ob=4a$ . Iloraz $\frac{Ob}{a}=4$ jest stały, więc wielkości są wprost proporcjonalne.

b) Pole wynosi $P=a^2$ . Iloraz $\frac Pa=a$ zależy od długości boku, więc nie ma stałej $k$ , dla której $P=ka$ dla wszystkich $a>0$ . Zatem nie jest to proporcjonalność prosta.

Odpowiedź

a) Tak, ponieważ $Ob=4a$ . b) Nie, ponieważ $P=a^2$ , a iloraz $P/a=a$ nie jest stały.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 10

Trzeba tu z wymiarów działek na planie wyznaczyć skalę, przeliczyć brakujące długości w terenie i ocenić obwód prostokąta oraz zapas siatki dla trapezu.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Ze skanu planu odczytujemy wszystkie boki i układ działek. Skoro $2{,}5$ cm odpowiada $15$ m, to $1$ cm odpowiada $6$ m.

a) Dłuższy bok $A$ ma $6\cdot6=36$ m, więc

Ob_A=2(15+36)=102\ \text{m}.

b) Na planie boki trapezu $B$ mają długości $6$ cm, $2$ cm, $3$ cm oraz

\sqrt{(6-2)^2+3^2}=5\ \text{cm}.

Obwód w terenie wynosi $(6+2+3+5)\cdot6=96$ m. Po odjęciu bramy potrzeba $96-2=94$ m siatki, więc $95$ m wystarczy.

Odpowiedź

a) $102$ m. b) Tak; potrzeba $94$ m siatki.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

Zadanie sprawdza, czy potrafisz porównać proporcje boków rzeczywistej działki i jej prostokątnego obrazu, rozwiązać równanie dla wymiaru na planie i podać skalę.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Prostokąty są podobne, więc stosunek boków planu jest równy $20:30=2:3$ :

\frac{x}{x+2}=\frac23,\qquad 3x=2x+4,\qquad x=4.

Na planie bok $4$ cm odpowiada $20$ m, czyli $2000$ cm. Skala wynosi

4:2000=1:500.

Odpowiedź

Skala planu to $1:500$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

Celem jest to, by przy stałym przecięciu prostej z osią pionową dobrać drugie przecięcie z warunku pola trójkąta i zapisać możliwe wzory funkcji dla trzech pól.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech $p$ będzie odciętą punktu przecięcia z osią $OX$ . Jedna przyprostokątna ma długość $3$ , więc

P=\frac12\cdot3\cdot|p|,\qquad |p|=\frac{2P}{3}.

Prosta $y=ax-3$ ma miejsce zerowe $p=\frac3a$ , stąd $|a|=\frac{9}{2P}$ .

a) dla $P=6$ : $|a|=\frac34$ ;
b) dla $P=\frac{21}{2}$ : $|a|=\frac37$ ;
c) dla $P=9\sqrt2$ : $|a|=\frac{\sqrt2}{4}$ .

Odpowiedź

a) $y=\pm\frac34x-3$ ; b) $y=\pm\frac37x-3$ ; c) $y=\pm\frac{\sqrt2}{4}x-3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 13

Ćwiczymy tutaj, jak przy ustalonym miejscu zerowym prostej wyznaczyć jej przecięcie z osią pionową z pola trójkąta, a potem podać możliwe wzory dla trzech wartości pola.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Pozioma przyprostokątna ma długość $\frac32$ . Jeśli $b$ jest wyrazem wolnym, to pionowa przyprostokątna ma długość $|b|$ , zatem

P=\frac12\cdot\frac32\cdot|b|=\frac34|b|,\qquad |b|=\frac{4P}{3}.

Prosta przez $(0,b)$ i $(\frac32,0)$ ma współczynnik $a=-\frac{2b}{3}$ .

a) $P=6$ , więc $b=\pm8$ i $a=\mp\frac{16}{3}$ ;
b) $P=\frac92$ , więc $b=\pm6$ i $a=\mp4$ ;
c) $P=3\sqrt2$ , więc $b=\pm4\sqrt2$ i $a=\mp\frac{8\sqrt2}{3}$ .

Odpowiedź

a) $y=-\frac{16}{3}x+8$ lub $y=\frac{16}{3}x-8$ .

b) $y=-4x+6$ lub $y=4x-6$ .

c) $y=-\frac{8\sqrt2}{3}x+4\sqrt2$ lub $y=\frac{8\sqrt2}{3}x-4\sqrt2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem