NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 231 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Sedno zadania polega na tym, by dla sześciu prostych wykorzystać znaki nachylenia i wyrazu wolnego oraz miejsca przecięcia z osiami do wskazania ćwiartek, przez które przebiegają.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Znaki $a$ i $b$ oraz położenie miejsca zerowego wskazują ćwiartki. Otrzymujemy:

a) $a<0$ , $b>0$ , miejsce zerowe dodatnie: I, II i IV;
b) $a>0$ , $b>0$ , miejsce zerowe ujemne: I, II i III;
c) $a<0$ , $b<0$ , miejsce zerowe ujemne: II, III i IV;
d) $a>0$ , $b<0$ , miejsce zerowe dodatnie: I, III i IV;
e) $1-\sqrt2<0$ , $b>0$ , miejsce zerowe dodatnie: I, II i IV;
f) prosta $y=-5$ leży poniżej osi $OX$ : III i IV.

Odpowiedź

a) I, II, IV; b) I, II, III; c) II, III, IV; d) I, III, IV; e) I, II, IV; f) III, IV.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Spróbujmy tutaj porównać trzy wyrażenia z pierwiastkami z zerem i ze znaku parametru kierunkowego rozstrzygnąć monotoniczność odpowiednich funkcji.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprawdzamy znak $m$ :

a) $\sqrt3-2<0$ , bo $\sqrt3<2$ : funkcja malejąca;
b) $5-2\sqrt5>0$ , bo $25>20$ : funkcja rosnąca;
c) $3-\sqrt[3]{-27}=3-(-3)=6>0$ : funkcja rosnąca.

Odpowiedź

a) malejąca; b) rosnąca; c) rosnąca.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Podczas tego ćwiczenia trzeba w trzech rodzinach funkcji liniowych wyznaczyć zakresy parametru dające dodatnie, ujemne lub zerowe nachylenie wykresu.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Porównujemy współczynnik kierunkowy z zerem.

a) Dla $5-m$ : dodatni, gdy $m<5$ ; równy $0$ , gdy $m=5$ ; ujemny, gdy $m>5$ .

b) Dla $1+5m$ : dodatni, gdy $m>-\frac15$ ; równy $0$ , gdy $m=-\frac15$ ; ujemny, gdy $m<-\frac15$ .

c) Dla $|m|-1$ : dodatni, gdy $|m|>1$ ; równy $0$ , gdy $|m|=1$ ; ujemny, gdy $|m|<1$ .

Odpowiedź

a) rosnąca dla $m<5$ , stała dla $m=5$ , malejąca dla $m>5$ .

b) rosnąca dla $m>-\frac15$ , stała dla $m=-\frac15$ , malejąca dla $m<-\frac15$ .

c) rosnąca dla $m\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ , stała dla $m=\pm1$ , malejąca dla $m\in(-1,1)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Analizujemy tutaj, jak w sześciu przypadkach porównać współrzędne dwóch punktów, ustalić znak ilorazu ich przyrostów i stąd określić monotoniczność prostej.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Znak ilorazu $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ określa monotoniczność:

a) $\frac{12-6}{4-(-8)}=\frac12>0$ — rosnąca;
b) $\frac{-37-(-9)}{-9-(-37)}=-1<0$ — malejąca;
c) rzędne są równe — stała;
d) $3\sqrt2>2\sqrt3$ , a przy przejściu od pierwszego punktu do drugiego maleją obie współrzędne — rosnąca;
e) $\frac{7}{12}<\frac23$ przy wzroście $x$ — malejąca;
f) $\frac35<\frac23$ , lecz $-7>-8$ — malejąca.

Odpowiedź

a), d) rosnąca; b), e), f) malejąca; c) stała.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Rozważamy tutaj, jak z wyrazu wolnego i przedziału określającego znak wartości odtworzyć miejsce zerowe oraz współczynnik kierunkowy trzech funkcji liniowych.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podany punkt z $x=0$ wyznacza wyraz wolny. Granica wskazanego zbioru znaków jest miejscem zerowym.

a) $b=4$ , miejsce zerowe $-6$ , a wykres ma rosnąć: $0=-6a+4$ , stąd $a=\frac23$ ;
b) $b=-\frac12$ , miejsce zerowe $2$ , a wykres ma rosnąć: $0=2a-\frac12$ , stąd $a=\frac14$ ;
c) $b=-2$ , miejsce zerowe $-4$ , a wykres ma maleć: $0=-4a-2$ , stąd $a=-\frac12$ .

Odpowiedź

a) $y=\frac23x+4$ ; b) $y=\frac14x-\frac12$ ; c) $y=-\frac12x-2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

Zadanie pokazuje, jak z rysunku oraz z podanych współrzędnych wierzchołków wyprowadzić równania prostych zawierających wszystkie boki dwóch czworokątów.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Ze skanu odczytujemy wierzchołki $A(0,-2)$ , $B(5,0)$ , $C(0,3)$ i $D(-2,0)$ . Równanie każdej prostej wyznaczamy z dwóch końców boku:

AB:y=\frac25x-2,\quad BC:y=-\frac35x+3,

CD:y=\frac32x+3,\quad DA:y=-x-2.

b) Analogicznie dla danych wierzchołków:

AB:y=-\frac32x-72,\quad BC:y=2x-72,

CD:y=-4x+144,\quad DA:y=3x+144.

Odpowiedź

a) $y=\frac25x-2$ , $y=-\frac35x+3$ , $y=\frac32x+3$ , $y=-x-2$ .

b) $y=-\frac32x-72$ , $y=2x-72$ , $y=-4x+144$ , $y=3x+144$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 10

Uczymy się tutaj, jak w dwóch opisach ruchu ze stałą prędkością zastosować proporcjonalność drogi do czasu i obliczyć położenie samochodu we wskazanych chwilach.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Prędkość wynosi $165:1{,}5=110$ km/h. W czasie $2{,}5$ h samochód pokona

110\cdot2{,}5=275\ \text{km}.

b) Między 13.00 a 15.24 upłynęło $2{,}4$ h, a odległość wzrosła o $252-60=192$ km. Prędkość wynosi więc $192:2{,}4=80$ km/h. Od 13.00 do 16.00 upływają $3$ h, zatem odległość od punktu początkowego będzie równa

60+80\cdot3=300\ \text{km}.

Odpowiedź

a) $275$ km; b) $300$ km.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem