Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 230

rozdział 5. Funkcja liniowa · temat „Proporcjonalność prosta” · 4 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 6

Głównym celem jest to, by dla czterech funkcji ustalić znak współczynnika przy argumencie i na tej podstawie sklasyfikować je jako rosnące, malejące albo stałe.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

O monotoniczności decyduje znak współczynnika przy $x$ .

a) $5>0$ , więc funkcja jest rosnąca;
b) $-3<0$ , więc funkcja jest malejąca;
c) $3-2\sqrt2>0$ , bo $3^2=9>8=(2\sqrt2)^2$ , więc funkcja jest rosnąca;
d) współczynnik przy $x$ wynosi $0$ , więc funkcja jest stała.

Odpowiedź

a) rosnąca; b) malejąca; c) rosnąca; d) stała.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 7

Pracujemy tutaj nad tym, jak z kierunku nachylenia trzech prostych oraz wysokości ich przecięcia z osią pionową odczytać znaki obu współczynników funkcji liniowej.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rosnący wykres oznacza $a>0$ , malejący — $a<0$ . Przecięcie osi $OY$ powyżej początku daje $b>0$ , a poniżej — $b<0$ .

a) wykres maleje i przecina $OY$ powyżej $O$ , zatem $a<0$ , $b>0$ ;
b) wykres rośnie i przecina $OY$ poniżej $O$ , zatem $a>0$ , $b<0$ ;
c) wykres maleje i przecina $OY$ poniżej $O$ , zatem $a<0$ , $b<0$ .

Odpowiedź

a) $a<0$ , $b>0$ ; b) $a>0$ , $b<0$ ; c) $a<0$ , $b<0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 8

W ramach ćwiczenia trzeba w czterech sytuacjach geometrycznych rozpoznać proporcjonalność prostą lub odwrotną i zapisać wzór wiążący porównywane wielkości.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Dla boku $a$ obwód $Ob=3a$ , czyli $a=\frac13Ob$ : proporcjonalność wprost.

b) Z $P=\frac12ab$ mamy $a=\frac{2P}{b}$ : przy stałym $P$ jest to proporcjonalność odwrotna.

c) $Ob=2\pi r$ : proporcjonalność wprost.

d) Z $P=\frac12d_1d_2$ mamy $d_1=\frac{2P}{d_2}$ : proporcjonalność odwrotna.

Odpowiedź

a) wprost, $a=\frac13Ob$ ; b) odwrotnie, $a=\frac{2P}{b}$ ; c) wprost, $Ob=2\pi r$ ; d) odwrotnie, $d_1=\frac{2P}{d_2}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 9

Najważniejsze jest, aby z jednej pary danych w każdej tabeli obliczyć stałą proporcjonalności prostej, uzupełnić brakujące liczby i naszkicować trzy wykresy.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie $y=kx$ .

a) $k=\frac{9/4}{3/4}=3$ , więc $y=3x$ . Brakujące wartości: $3$ i $6$ .

b) $k=\frac{1{,}2}{1{,}8}=\frac23$ , więc $y=\frac23x$ . Dla $x=1$ mamy $y=\frac23$ , a dla $y=2$ mamy $x=3$ .

c) $k=\frac{5/3}{7/3}=\frac57$ , więc $y=\frac57x$ . Dla $y=5$ mamy $x=7$ , a dla $x=14$ mamy $y=10$ .

Każdy wykres jest prostą przez początek układu; do szkicu wystarczy początek i jeden punkt z tabeli.

Odpowiedź

a) $y=3x$ , tabela: $3,6$ ; b) $y=\frac23x$ , tabela: $\frac23,3$ ; c) $y=\frac57x$ , tabela: $7,10$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem