NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 23

Oznaczmy długość boku każdego wielokąta przez $a$.

W trójkącie równobocznym $h=\frac{a\sqrt3}{2}$. Ponieważ $h=\sqrt6$, mamy

$a=\frac{2\sqrt6}{\sqrt3}=2\sqrt2,$

więc obwód $3a=6\sqrt2$ jest niewymierny.

W kwadracie przekątna ma długość $a\sqrt2$. Zatem

$a\sqrt2=2\sqrt3\quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt6,$

a obwód $4\sqrt6$ jest niewymierny.

Zaznaczony na rysunku odcinek sześciokąta łączy wierzchołki oddalone o dwa boki. Taka krótsza przekątna ma długość $a\sqrt3$. Stąd

$a\sqrt3=3\sqrt3\quad\Longrightarrow\quad a=3,$

więc obwód sześciokąta wynosi $6a=18$ i jest wymierny.

W każdym podpunkcie zakładamy przeciwnie, że pierwiastek jest ułamkiem nieskracalnym $\frac mn$, gdzie $m,n\in\mathbb Z$, $n\ne0$.

a) Gdyby $\sqrt3=\frac mn$, to $m^2=3n^2$. Zatem $3\mid m^2$, więc $3\mid m$. Piszemy $m=3k$ i otrzymujemy

$9k^2=3n^2,\qquad n^2=3k^2.$

Stąd także $3\mid n$. Liczby $m,n$ miałyby wspólny dzielnik $3$, wbrew nieskracalności ułamka. Zatem $\sqrt3$ jest niewymierna.

b) Dla $\sqrt5=\frac mn$ mielibyśmy $m^2=5n^2$. Wynika stąd kolejno $5\mid m$, $m=5k$, a potem $n^2=5k^2$, czyli $5\mid n$. To ponownie sprzeczność z nieskracalnością. Zatem $\sqrt5$ jest niewymierna.

c) Gdyby $\sqrt6=\frac mn$, to $m^2=6n^2$. Zarówno $2$, jak i $3$ dzielą $m^2$, więc dzielą $m$; zatem $m=6k$. Po podstawieniu

$36k^2=6n^2,\qquad n^2=6k^2,$

więc $2$ i $3$ dzielą również $n$. Ułamek nie byłby nieskracalny. Zatem $\sqrt6$ jest niewymierna.

a) Załóżmy przeciwnie, że dla liczby niewymiernej $x$ i niezerowej liczby wymiernej $w$ iloczyn $wx$ jest wymierny. Iloraz dwóch liczb wymiernych, gdy dzielnik jest niezerowy, jest wymierny. Wtedy

$x=\frac{wx}{w}$

byłaby liczbą wymierną. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że $wx$ musi być niewymierna.

b) Załóżmy przeciwnie, że $x+w$ jest wymierna. Różnica dwóch liczb wymiernych jest wymierna, więc

$x=(x+w)-w$

byłaby wymierna. Jest to sprzeczne z założeniem o $x$, dlatego $x+w$ jest niewymierna.

Korzystamy z nierówności $1<\sqrt2<2$, która wynika z $1^2<2<2^2$.

a) Możemy przyjąć $x=\sqrt2$.

b) Po podzieleniu nierówności przez $100$ otrzymujemy

$0{,}01<\frac{\sqrt2}{100}<0{,}02,$

więc wybieramy $x=\frac{\sqrt2}{100}$.

c) Po podzieleniu przez $1000$ i dodaniu $5$ dostajemy

$5{,}001<5+\frac{\sqrt2}{1000}<5{,}002.$

Każda z wybranych liczb jest niewymierna jako niezerowa wymierna wielokrotność liczby $\sqrt2$, ewentualnie powiększona o liczbę wymierną.

Jeśli krawędź sześcianu ma długość $a$, to jego przekątna przestrzenna ma długość $a\sqrt3$. Z warunku

$a\sqrt3=3$

otrzymujemy $a=\frac3{\sqrt3}=\sqrt3$.

Pole powierzchni sześcianu wynosi

$S=6a^2=6(\sqrt3)^2=18,$

czyli jest liczbą wymierną. Objętość jest równa

$V=a^3=(\sqrt3)^3=3\sqrt3.$

Ponieważ $\sqrt3$ jest niewymierna, także $3\sqrt3$ jest niewymierna.

Dzielnikami liczby $12$ są $1,2,3,4,6,12$. Wybierzmy trzy z nich:

$a=2,\qquad b=3,\qquad c=6.$

Przekątna prostopadłościanu ma długość

=\sqrt{2^2+3^2+6^2} =\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7.$$ Otrzymaliśmy liczbę całkowitą, a więc wymierną.