NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 22

Pierwiastki kwadratowe z pełnych kwadratów i pierwiastki sześcienne z pełnych sześcianów są wymierne. W każdym zestawie dwie liczby pod pierwiastkiem mają tę własność, a trzecia nie.

a) $\sqrt4=2$, $\sqrt{64}=8$, natomiast $164$ nie jest kwadratem — niewymierna jest $\sqrt{164}$.

b) $\sqrt9=3$, $\sqrt{49}=7$ — niewymierna jest $\sqrt{29}$.

c) $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{225}=15$ — niewymierna jest $\sqrt{125}$.

d) $\sqrt{169}=13$, $\sqrt{196}=14$ — niewymierna jest $\sqrt{286}$.

e) $\sqrt[3]0=0$, $\sqrt[3]{64}=4$ — niewymierna jest $\sqrt[3]4$.

f) $\sqrt[3]{125}=5$, $\sqrt[3]{216}=6$ — niewymierna jest $\sqrt[3]{81}$.

Na każdym rysunku odległość punktu $P$ od zera jest równa przeciwprostokątnej narysowanego trójkąta prostokątnego.

a) Przyprostokątne mają długości $2$ i $1$, więc z twierdzenia Pitagorasa

$OP=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5.$

Punkt leży na dodatniej półosi, zatem jego współrzędna to $\sqrt5$. Liczba $5$ nie jest pełnym kwadratem, więc $\sqrt5$ jest niewymierna.

b) Analogicznie

$OP=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}.$

Punkt ma współrzędną $\sqrt{10}$, która również jest niewymierna.

Długość przekątnej wynosi $d=\sqrt{x^2+y^2}$.

a) $d=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5$, więc jest niewymierna.

b) $d=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$, więc jest wymierna.

c) $d=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$, więc jest wymierna.

d) $d=\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$, więc jest niewymierna.

Dobieramy pary tak, aby składniki z $\sqrt3$ się zredukowały albo po pomnożeniu utworzyły $3$.

a) $p+q=(3-2\sqrt3)+2\sqrt3=3$.

b) $q-r=2\sqrt3-(2\sqrt3-7)=7$.

c) $q\cdot s=2\sqrt3\cdot7\sqrt3=14\cdot3=42$.

d) $\frac{s}{q}=\frac{7\sqrt3}{2\sqrt3}=\frac72$.

Każdy otrzymany wynik jest wymierny.

Podstawiamy podane przybliżenia.

a) $1{,}414+1{,}732=3{,}146>3$ — nierówność prawdziwa.

b) $2{,}236+1{,}732=3{,}968<4$ — nierówność fałszywa.

c) $2\cdot1{,}414+2{,}236=5{,}064>5$ — nierówność prawdziwa.

d) $2{,}236-1{,}732=0{,}504>0{,}5$ — nierówność fałszywa.

e) Lewa strona ma przybliżenie $4-2\cdot1{,}732=0{,}536$, a prawa $\frac{1{,}414}{2}=0{,}707$. Mamy $0{,}536<0{,}707$, więc nierówność jest prawdziwa.

f) Lewa strona ma przybliżenie

$\frac{2{,}236+1{,}414}{2}=1{,}825,$

a $1{,}825>1{,}732$, więc nierówność jest fałszywa.