NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 227

O miejscu przecięcia z osią $OY$ decyduje wyraz wolny. Dlatego:

• przez $(0,2)$ przechodzą $l_1,l_4,l_5,l_8$;
• przez $(0,-1)$ przechodzą $l_2,l_3,l_6,l_7$.

Do szkicu można użyć kolejno par punktów:

$$\begin{aligned} l_1&:(0,2),(1,5),& l_4&:(0,2),(1,2),\\ l_5&:(0,2),(1,0),& l_8&:(0,2),(2,3),\\ l_2&:(0,-1),(1,2),& l_3&:(0,-1),(1,-1),\\ l_6&:(0,-1),(1,-3),& l_7&:(0,-1),(2,0). \end{aligned}$$

Zachowujemy współczynnik kierunkowy i wyznaczamy $b$ z warunku przechodzenia przez $P$:

• a) $5=4\cdot0+b$, więc $b=5$;
• b) $8=-3\cdot1+b$, więc $b=11$;
• c) $5=-\frac43\cdot(-6)+b=8+b$, więc $b=-3$;
• d) $6=\sqrt3\cdot2\sqrt3+b=6+b$, więc $b=0$.

Ze skanu odczytujemy przecięcia z osią $OY$ i jeden dalszy punkt każdej prostej:

• a) wykres ma wzór $y=\frac12x-1$. Punkt $P$ spełnia równanie, ale dla $x=16$ otrzymujemy $7\ne9$;
• b) wykres ma wzór $y=2x+3$. Punkt $P$ spełnia równanie, ale dla $x=7$ otrzymujemy $17\ne19$;
• c) wykres ma wzór $y=-\frac23x+2$. Dla $x=8$ otrzymujemy $-\frac{10}{3}=-3\frac13$, czyli współrzędne $Q$ spełniają równanie.

Wyraz wolny wynosi $4$. Współczynnik kierunkowy obliczamy ze wzoru $a=\frac{y_P-4}{x_P}$:

• a) $a=\frac{6-4}{2}=1$;
• b) $a=\frac{1-4}{-6}=\frac12$;
• c) $a=\frac{-11-4}{5}=-3$;
• d) $a=\frac{-2-4}{3/4}=-8$.

Do każdego szkicu wystarczą punkty $(0,4)$ i podany punkt $P$.

a) Dla $x=0$ odległość pionowa między prostymi wynosi $3-(-2)=5$. Dla $x=6$ proste przecinają się, bo obie mają wartość $2$. Zacieniowana figura jest więc trójkątem o podstawie $5$ i wysokości $6$:

$$P=\frac12\cdot5\cdot6=15.$$

b) Proste są równoległe, a ich pionowa odległość wynosi

$$\left(\frac12x+\frac52\right)-\left(\frac12x-\frac32\right)=4.$$

Między $x=0$ i $x=6$ powstaje równoległobok o polu $6\cdot4=24$.

Punkt $(0,0)$ spełnia równanie. Załóżmy teraz, że $(x,y)$ ma obie współrzędne wymierne i leży na wykresie. Gdyby $x\ne0$, to z $y=\sqrt2x$ wynikałoby

$$\sqrt2=\frac{y}{x},$$

czyli $\sqrt2$ byłaby liczbą wymierną — sprzeczność. Musi więc być $x=0$, a wtedy także $y=0$.

Załóżmy przeciwnie, że $x,y\in\mathbb{Q}$ i $y=\sqrt2x-\sqrt3$.

Jeżeli $x=0$, to $y=-\sqrt3\notin\mathbb{Q}$. Jeżeli $y=0$, to $x=\sqrt{3/2}\notin\mathbb{Q}$. Pozostaje przypadek $xy\ne0$. Z równości $\sqrt3=\sqrt2x-y$ po podniesieniu do kwadratu mamy

$$3=2x^2+y^2-2xy\sqrt2,$$

a więc

$$\sqrt2=\frac{2x^2+y^2-3}{2xy}.$$

Prawa strona jest wymierna, co przeczy niewymierności $\sqrt2$. W każdym przypadku otrzymujemy sprzeczność.