NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 220
rozdział 4. Funkcje · temat „Przed maturą z matematyki na poziomie rozszerzonym” · 8 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
Skupiamy się na tym, jak z wykresu odczytać przecięcia z poziomem jeden, uwzględnić poziome przesunięcie o wielokrotność pierwiastka z dwóch i zsumować nowe zera.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Równanie (g(x)=0) jest równoważne [ f(x-3\sqrt2)=1. ] Ze skanu odczytujemy, że (f(u)=1) dla (u=-2) i (u=0). Stąd miejsca zerowe (g) to [ x_1=-2+3\sqrt2,\qquad x_2=3\sqrt2. ] Ich suma wynosi (6\sqrt2-2).
Suma miejsc zerowych wynosi (6\sqrt2-2).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
Należy tutaj po pionowym przesunięciu wykresu wartości bezwzględnej rozwiązać warunek ujemności przez wyznaczenie przedziału między jego miejscami zerowymi.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Przesunięcie w górę o (\sqrt3) daje [ g(x)=|x-2|-6+\sqrt3. ] Warunek (g(x)<0) jest równoważny [ |x-2|<6-\sqrt3. ] Zatem (2-(6-\sqrt3)<x<2+(6-\sqrt3)).
[ x\in(-4+\sqrt3,\ 8-\sqrt3). ]
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
To ćwiczenie sprawdza, czy potrafisz porównać wierzchołki dwóch parabol o jednakowym kształcie i z różnic ich współrzędnych zapisać wektor translacji.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wierzchołek wykresu (f) ma współrzędne ((-9,-12)), a wierzchołek wykresu (g) — ((8,7)). Wektor przesunięcia jest różnicą tych punktów: [ [a,b]=[8-(-9),\ 7-(-12)]=[17,19]. ]
([a,b]=[17,19]).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4.1
Głównym celem jest to, by najpierw odbić argumenty zadanego wykresu względem osi pionowej, następnie zawinąć wartości ujemne ku górze i rozwiązać nierówność z poziomem dwa.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Najpierw odbijamy źródłowy wykres względem osi (OY), a następnie wszystkie wartości ujemne względem (OX). Nierówność jest równoważna [ |f(-x)|\ge2. ] Ze skanu odczytujemy: dla (-x\ge3) wartość bezwzględna wynosi (2), a poziom (2) jest osiągany jeszcze dla (-x=-3) i (-x=1). Po zmianie znaków argumentów otrzymujemy (x\le-3) oraz punkty (x=3,-1).
[ x\in(-∞,-3]\cup{-1,3}. ]
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4.2
Pracujemy tutaj nad tym, jak z wykresu utworzyć ujemną wartość bezwzględną funkcji, naszkicować obraz leżący nie wyżej niż oś odciętych i odczytać przecięcia z poziomem minus dwa.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Równanie [ -|f(x)|=-2 ] jest równoważne (|f(x)|=2). Ze skanu odczytujemy, że zachodzi to dla (x=-3), (x=1) oraz na całej poziomej półprostej (x\ge3).
[ x\in{-3,1}\cup[3,∞). ]
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
W ramach ćwiczenia trzeba znaleźć przecięcia dwóch przesuniętych wykresów modułowych o przeciwnym ułożeniu ramion i obliczyć pole zamkniętej między nimi figury.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wierzchołki wykresów to ((-4,-2)) i ((-3,5)). Równania odpowiednich ramion dają punkty przecięcia ((-7,1)) oraz ((0,2)). Ograniczona figura jest czworokątem o kolejnych wierzchołkach [ (-7,1),\ (-3,5),\ (0,2),\ (-4,-2). ] Ze wzoru Gaussa na pole wielokąta: [ P=\frac12\left|(-45)-3\right|=24. ]
Pole figury wynosi (24).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
Najważniejsze jest, aby narysować funkcję odcinkową z modułem, odbić ją względem osi pionowej, przesunąć w dół i rozwiązać równanie dla nowego wykresu.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Po podstawieniu (-x) i przesunięciu o (3) w dół: [ g(x)=\begin{cases} |x|-3&x\in[-3,2],\ -1&x\in(-∞,-3)\cup(2,∞). \end{cases} ] Poza ([-3,2]) równanie (g(x)=-1) zachodzi automatycznie. W części środkowej mamy (|x|-3=-1), czyli (x=-2) lub (x=2). Łączymy te zbiory, pamiętając o końcach przedziałów.
[ x\in(-∞,-3)\cup{-2}\cup[2,∞). ]
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 7
Uczymy się tutaj, jak porównać wykres funkcji liniowej względem modułu z parabolą zależną od modułu i odczytać przedziały, na których pierwszy leży niżej.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (t=|x|\ge0). Nierówność przyjmuje postać [ 2t-2\le(t-1)^2, ] czyli [ 0\le t^2-4t+3=(t-1)(t-3). ] Stąd (0\le t\le1) lub (t\ge3). Wracając do (t=|x|), otrzymujemy (|x|\le1) albo (|x|\ge3).
[ x\in(-∞,-3]\cup[-1,1]\cup[3,∞). ]
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem