NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 219
rozdział 4. Funkcje · temat „Przed obowiązkową maturą z matematyki” · 8 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 17
Wykorzystujemy nierosnący charakter funkcji oraz równe wartości w dwóch punktach do ustalenia jej stałości pomiędzy nimi i obliczenia wartości pośredniej.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Mamy (-3<-2\sqrt2<1). Funkcja jest nierosnąca, a (f(-3)=f(1)=2). Dla każdego (x\in[-3,1]) zachodzi więc [ 2=f(-3)\ge f(x)\ge f(1)=2, ] czyli (f(x)=2) na całym tym przedziale.
(f(-2\sqrt2)=2).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 18
W tym zadaniu należy odbić podany wykres względem osi pionowej oraz przekształcić krańce jego przedziałowej dziedziny po zmianie znaku argumentu.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Podstawienie (-x) odbija wykres względem osi (OY). Warunek (-x\in[-3,6]) daje [ -6\le x\le3. ] Ze skanu odczytujemy wierzchołki (f): ((-3,2),(0,-1),(6,2)). Po odbiciu otrzymujemy kolejno ((3,2),(0,-1),(-6,2)).
(D_g=[-6,3]); wykres jest łamaną przez ((-6,2),(0,-1),(3,2)).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 19
Zadanie polega na tym, by znaleźć kandydatów na miejsca zerowe trzech liniowych gałęzi i za każdym razem sprawdzić, czy argument należy do właściwego przedziału definicji.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Rozwiązujemy równanie osobno w każdej części. Pierwsza daje (x=-2), co spełnia (x<-1). Druga daje (x=1), co należy do ([-1,3]). Trzecia daje (x=2), ale nie spełnia warunku (x>3), więc ją odrzucamy.
Miejsca zerowe: (-2) i (1).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 20
Warto tutaj z trzech zer funkcji bazowej wyznaczyć zera po liniowym przekształceniu argumentu, a potem obliczyć ich sumę.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Mamy (q(x)=0) wtedy i tylko wtedy, gdy (-x+6) jest miejscem zerowym (f). Rozwiązujemy: [ -x+6=-3,\quad -x+6=2,\quad -x+6=4. ] Otrzymujemy odpowiednio (x=9,4,2), a ich suma to (9+4+2=15).
Suma miejsc zerowych funkcji (q) wynosi (15).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 21
Sprawdzamy tutaj, jak z funkcji liniowej utworzyć odbicie pionowe i przesunięcie poziome, narysować obie proste oraz policzyć pole figury między nimi i osią odciętych.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
[ g(x)=-f(x)=-2x-2,\qquad h(x)=f(x-4)=2x-6. ] Ich miejsca zerowe to odpowiednio (-1) i (3). Punkt przecięcia spełnia (-2x-2=2x-6), zatem (x=1, y=-4). Ograniczony obszar jest trójkątem o podstawie długości (4) i wysokości (4): [ P=\frac12\cdot4\cdot4=8. ]
Pole obszaru wynosi (8).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 22
Tym razem trzeba na skończonym zbiorze liczb naturalnych przesunąć w dół wartości funkcji reszty z dzielenia przez cztery, narysować punkty i wskazać zera.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dziedziną jest (X={0,1,\ldots,11}). Jeśli reszta z dzielenia (x) przez (4) wynosi kolejno (0,1,2,3), to (g(x)) wynosi (-1,0,1,2). Zera występują zatem dla liczb dających resztę (1): (1,5,9).
Miejsca zerowe funkcji (g): (1,5,9).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 23
Ten przykład pokazuje, jak odbić przedstawiony wykres względem osi poziomej, zamienić przedziały wzrostu ze spadkiem i odczytać, gdzie nowa funkcja jest ujemna.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wykres (g=-f) jest odbiciem źródłowej łamanej względem osi (OX). Odbicie zamienia wzrost ze spadkiem, ale nie zmienia przedziałów stałości.
Ze skanu: (g) jest stała na ((-∞,-3]), rośnie na ([-3,-1]) i ([0,∞)), maleje na ([-1,0]). Nierówność (g(x)\le0), równoważna (f(x)\ge0), zachodzi dla (x\le-2) oraz w punkcie (x=0).
Stała na ((-∞,-3]), rosnąca na ([-3,-1]) i ([0,∞)), malejąca na ([-1,0]); ({x:g(x)\le0}=(-∞,-2]\cup{0}).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 24
Twoim celem jest to, by połączyć warunek równoramienności trójkąta z położeniem wierzchołka na hiperboli i wykazać, że zależność od długości podstawy znika we wzorze pola.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wierzchołek trójkąta równoramiennego leży na symetralnej podstawy, więc ma pierwszą współrzędną (x=\frac a2). Ponieważ należy do wykresu (y=\frac4x), jego wysokość nad podstawą wynosi [ h=\frac{4}{a/2}=\frac8a. ] Pole trójkąta jest zatem równe [ P=\frac12ah=\frac12a\cdot\frac8a=4. ] Nie zależy ono od dodatniej wartości (a).
Pole każdego takiego trójkąta wynosi (4), niezależnie od (a>0).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu