NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 216
rozdział 4. Funkcje · temat „Zadania z kontekstem realistycznym” · 7 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
Głównym celem jest to, by dla funkcji zwracającej resztę z dzielenia argumentu przez cztery obliczyć wskazane wartości i wybrać prawdziwą zależność między nimi.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
(129\equiv1\pmod4), więc (a=1). Ponadto (29\equiv1), (59\equiv3), (89\equiv1) i (149\equiv1\pmod4). Jedyną prawdziwą równością z odpowiedzi jest (a=f(149)).
Poprawna odpowiedź: D.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
Pracujemy tutaj nad tym, jak spośród czterech wzorów rozpoznać funkcję zerującą się dla argumentu równego minus trzy drugie, sprawdzając wartość przez podstawienie.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Podstawiamy (x=-\frac32). W odpowiedzi C: [ \frac32-\frac23\left(-\frac32\right)^2 =\frac32-\frac23\cdot\frac94=0. ] Pozostałe wzory dają wartości różne od zera.
Poprawna odpowiedź: C.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
W ramach ćwiczenia trzeba podstawić minus dwa do kilku podanych funkcji i wskazać tę, dla której otrzymana wartość nie jest zerem.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dla (x=-2): odpowiedź A daje (\sqrt0=0), C daje (-8+8=0), a D daje (2/(-2)+1=0). Natomiast w B otrzymujemy [ (-2)^2-2=2\ne0. ]
Poprawna odpowiedź: B.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
Najważniejsze jest, aby uprościć pierwiastek z kwadratu argumentu do wartości bezwzględnej i na tej podstawie wybrać punkt należący do wykresu funkcji.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Ponieważ (\sqrt{x^2}=|x|), mamy (f(x)=x+|x|). Dla (x<0) jest to (0), a dla (x\ge0) — (2x). Zatem (f(-2)=0), więc punkt (A(-2,0)) należy do wykresu.
Poprawna odpowiedź: A.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
Uczymy się tutaj, jak prawidłowo odczytać kwadrat różnicy ukryty pod pierwiastkiem, obliczyć wartości funkcji dla kandydatów i wybrać punkt jej wykresu.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dla (x=2\sqrt3): [ f(2\sqrt3)=\sqrt3(2\sqrt3-1)^2 =\sqrt3(13-4\sqrt3)=13\sqrt3-12. ] Jest to współrzędna (y) punktu D.
Poprawna odpowiedź: D.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
Sedno zadania polega na tym, by osobno zbadać zera obu gałęzi funkcji przedziałowej i uwzględnić warunki ich obowiązywania przy ustalaniu liczby miejsc zerowych.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W pierwszej części (|x|-2=0) daje (x=-2,2); oba argumenty należą do ((-∞,4)). W drugiej części (\frac12x+2=0) dawałoby (x=-4), ale ten argument nie należy do ([4,∞)). Funkcja ma więc dwa miejsca zerowe.
Poprawna odpowiedź: C — dwa miejsca zerowe.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 7
Spróbujmy tutaj z położenia i kształtu paraboli na rysunku rozpoznać przesunięcie wykresu funkcji kwadratowej oraz dopasować właściwy wzór.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Każdy wzór zapisujemy w postaci kanonicznej i porównujemy wierzchołek ze skanem. Wariant B ma postać [ g(x)=6(x^2+6x+9)=6(x+3)^2, ] więc jego wierzchołek to ((-3,0)). Dokładnie w tym punkcie leży wierzchołek paraboli oznaczonej (g).
Poprawna odpowiedź: B.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem