NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 213
rozdział 4. Funkcje · temat „Zestaw II” · 7 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
W tym zadaniu należy na podstawie wykresu o ograniczonej dziedzinie naszkicować cztery jego przesunięcia i odbicia, a następnie podać dziedziny wynikowych funkcji.
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Ze skanu odczytujemy punkty charakterystyczne (f): otwarty ((-5,-2)), wierzchołek ((0,3)) i domknięty ((2,2)).
a) (f(x-3)): przesunięcie o (3) w prawo. Dziedzina ((-2,5]), punkty ((-2,-2)) otwarty, ((3,3)), ((5,2)).
b) (f(2-x)): odbicie względem prostej (x=1). Dziedzina ([0,7)), punkty ((0,2)), ((2,3)), ((7,-2)) otwarty.
c) (-f(x+2)): przesunięcie o (2) w lewo i odbicie względem (OX). Dziedzina ((-7,0]), punkty ((-7,2)) otwarty, ((-2,-3)), ((0,-2)).
d) (-f(1-x)): odbicie argumentu względem (x=\frac12), potem względem (OX). Dziedzina ([-1,6)), punkty ((-1,-2)), ((1,-3)), ((6,2)) otwarty.
(D_g): a) ((-2,5]), b) ([0,7)), c) ((-7,0]), d) ([-1,6)); szkice przechodzą przez punkty podane w rozwiązaniu.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
Zadanie polega na tym, by dla dwóch funkcji odcinkowych zmienić znaki wartości, zapisać wzory odbić i porównać ich zbiory wartości oraz monotoniczność.
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Mnożenie wartości przez (-1) odbija wykres względem osi (OX).
a) [ g(x)=\begin{cases}-1&x<-1,\-|x|&-1\le x\le3,\-3&x>3.\end{cases} ] Zbiór wartości: ([-3,0]). Funkcja jest stała na ((-∞,-1]) i ([3,∞)), rośnie na ([-1,0]), maleje na ([0,3]).
b) [ g(x)=\begin{cases}-2&x<-2,\x^2&-2\le x\le1,\5&x>1.\end{cases} ] Zbiór wartości: ({-2}\cup[0,4]\cup{5}). Funkcja jest stała na ((-∞,-2)) i ((1,∞)), maleje na ([-2,0]), rośnie na ([0,1]).
Wzory, zbiory wartości i przedziały monotoniczności obu funkcji podano w rozwiązaniu.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
Warto tutaj z trzech znanych miejsc zerowych wielomianu wyprowadzić miejsca zerowe i wzory trzech funkcji powstałych przez zmianę lub przesunięcie argumentu.
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
a) [ g(x)=f(-x)=-2x^3-3x^2+8x-3. ] Warunek (f(-x)=0) daje (-x\in{-1,-\frac12,3}), więc zera to (1,\frac12,-3).
b) [ g(x)=f(x+1)=2x^3+3x^2-8x-12. ] Warunek (x+1\in{-1,-\frac12,3}) daje zera (-2,-\frac32,2).
c) [ g(x)=f(1-x)=-2x^3+3x^2+8x-12. ] Warunek (1-x\in{-1,-\frac12,3}) daje zera (2,\frac32,-2).
a) (-2x^3-3x^2+8x-3), zera (-3,\frac12,1).
b) (2x^3+3x^2-8x-12), zera (-2,-\frac32,2).
c) (-2x^3+3x^2+8x-12), zera (-2,\frac32,2).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
Sprawdzamy tutaj, jak z wykresu utworzyć funkcję odbitą względem obu osi oraz ujemny moduł wartości, a potem porównać ich wykresy i miejsca zerowe.
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Ze skanu odczytujemy miejsca zerowe funkcji (f): (-5,-2,4).
a) Dla (g(x)=-f(-x)) współrzędne każdego punktu zmieniają znak, czyli wykres obracamy o (180^\circ) wokół początku układu. Zera zmieniają znaki: (5,2,-4).
b) Funkcja (-|f(x)|) ma te same miejsca zerowe co (f), a cały jej wykres leży na osi (OX) lub pod nią.
Miejsca zerowe: a) (-4,2,5), b) (-5,-2,4).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
Tym razem trzeba dla dwóch wykresów przedziałami zbadać liczbę przecięć z prostą poziomą i wskazać poziomy dające dokładnie jedno albo trzy rozwiązania.
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Liczbę rozwiązań równania (f(x)=m) odczytujemy jako liczbę przecięć wykresu z prostą poziomą (y=m), kontrolując końce przedziałów.
a) Dokładnie jedno przecięcie występuje dla (m=4). Trzy przecięcia występują dla (m=0) oraz (m=2).
b) Dla (m<0) przecinamy tylko lewą półprostą, a dla (m>4) tylko prawą — w obu przypadkach jest jedno rozwiązanie. Dla (0<m<4) dochodzą dwa przecięcia z parabolą, więc są trzy rozwiązania. Wartości brzegowe (0,4) dają inną liczbę przecięć.
a) Jedno rozwiązanie dla (m=4), trzy dla (m\in{0,2}).
b) Jedno dla (m\in(-∞,0)\cup(4,∞)), trzy dla (m\in(0,4)).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
Ten przykład pokazuje, jak z odczytanych punktów przecięcia obliczyć pola obszarów leżących między wykresem i jego odbiciem oraz między odbiciem poziomym a modułem argumentu.
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Ze skanu odczytujemy odcinki łamanej (f): na obszarze dodatnim ma ona zera (-4,4) i przechodzi kolejno przez ((-3,2),(-1,2),(0,4)).
a) Pole między (f) i (-f) jest dwa razy większe od pola pod dodatnią częścią (f). To drugie pole składa się z trójkąta (1), prostokąta (4), trapezu (3) i trójkąta (8). Zatem [ P=2(1+4+3+8)=32. ]
b) Wykresy (f(-x)) i (|x|) przecinają się dla (x=-2) i (x=2). Różnicę wysokości całkujemy geometrycznie na przedziałach ([-2,0]), ([0,1]), ([1,2]): pola wynoszą odpowiednio (4), (2{,}5), (0{,}5). Suma to (7).
a) (32), b) (7).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 7
Twoim celem jest to, by wyznaczyć stałą odwrotnej proporcjonalności z jednego punktu hiperboli, narysować wykres i policzyć jego punkty całkowitoliczbowe.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Podstawiamy współrzędne danego punktu: [ \frac{28}{5}=\frac{a}{5/2},\qquad a=\frac52\cdot\frac{28}{5}=14. ] Zatem (f(x)=\frac{14}{x}). Dodatnie dzielniki liczby (14) to (1,2,7,14), więc punkty kratowe to ((1,14),(2,7),(7,2),(14,1)).
(f(x)=\frac{14}{x}); do wykresu należą (4) punkty o obu współrzędnych całkowitych.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem