NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 212
rozdział 4. Funkcje · temat „Powtórzenie” · 6 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
Celem ćwiczenia jest to, by zbadać funkcję przypisującą liczbie dwucyfrowej iloczyn jej cyfr: znaleźć skrajne wartości oraz policzyć argumenty spełniające kilka warunków.
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
a) Iloczyn jest najmniejszy dla liczby z cyfrą jedności (0), więc minimum to (0). Największy iloczyn daje (99): (9\cdot9=81).
b) Iloczyn (12) mają liczby (26,34,43,62), czyli (4) argumenty. Iloczyn (16) mają (28,44,82), czyli (3) argumenty.
c) Iloczyn cyfr jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie cyfry są nieparzyste. Jest (5\cdot5=25) takich liczb dwucyfrowych. Wszystkich argumentów jest (90), zatem parzystą wartość funkcja przyjmuje dla (90-25=65) argumentów.
a) (f_{\min}=0, f_{\max}=81). b) Odpowiednio (4) i (3) argumenty. c) (65) argumentów.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
W tym przykładzie trzeba na trzech różnych dziedzinach narysować tę samą przesuniętą funkcję modułową i osobno ustalić jej zbiory wartości.
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
a) Obliczamy wartości dla pięciu argumentów: (3,0,-1,0,2). Stąd zbiór wartości to ({-1,0,2,3}).
b) Dziedzina zawiera (0), więc wartość najmniejsza to (-1). Dla (x\to-\infty) wartości rosną bez ograniczenia, zatem zbiorem wartości jest ([-1,\infty)).
c) Na ([-3,-1]) otrzymujemy wartości ([0,2]), a na ([2,4)) wartości ([1,3)). Suma tych zbiorów to ([0,3)).
a) ({-1,0,2,3}), b) ([-1,\infty)), c) ([0,3)).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
Trzeba tu z trzech wykresów odczytać przedziały wzrostu i spadku, miejsca zerowe oraz fragmenty, na których wartości są dodatnie.
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odczytujemy ze skanu zwroty łamanych, przecięcia z osią (OX) i fragmenty leżące nad nią.
a) Funkcja rośnie w ((-4,-2]) i ([0,4)), maleje w ([-2,0]). Miejsca zerowe: (-3,-1,2). Wartości dodatnie przyjmuje dla (x\in(-3,-1)\cup(2,4)).
b) Rośnie w ((-4,-2]) i ([1,4)), maleje w ([-2,1]). Nie ma miejsc zerowych. Jest dodatnia dla (x\in(-4,-1)\cup[2,4)).
c) Rośnie w ([-3,-2]), ([0,1]), ([2,4)), a maleje w ((-4,-3]), ([-2,0]), ([1,2]). Miejsca zerowe: (-3,-1,1,3). Jest dodatnia dla (x\in(-4,-3)\cup(-3,-1)\cup(3,4)).
Przedziały monotoniczności, miejsca zerowe i zbiory dodatniości są podane osobno w punktach a)–c) rozwiązania.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
Zadanie sprawdza, czy potrafisz dla trzech wektorów przesunąć wykres funkcji modułowej i zapisać wzory nowych funkcji zgodnie z kierunkiem translacji.
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wykres (y=\frac12|x|) ma wierzchołek ((0,0)). Podstawienie (x-h) przesuwa go o (h) w poziomie, a składnik dodany na końcu — w pionie.
a) Wektor ([2,-1]), wierzchołek ((2,-1)).
b) Wektor ([-3,2]), wierzchołek ((-3,2)).
c) Wektor ([-1,-3]), wierzchołek ((-1,-3)).
Wektory przesunięć: a) ([2,-1]), b) ([-3,2]), c) ([-1,-3]); ramiona zachowują nachylenie (\pm\frac12).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 5
Celem jest to, by znaleźć przecięcia dwóch par prostych łamanych opisanych modułami i obliczyć pola figur zamkniętych między ich wykresami.
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
a) Wykresy przecinają się dla (x=-1) i (x=3). Różnica wysokości ma maksimum (3) przy (x=0), więc obszar dzieli się na trójkąty o polach [ \frac{1\cdot3}{2}+\frac{3\cdot3}{2}=6. ]
b) Punkty przecięcia odpowiadają (x=-6) i (x=2). Dzieląc obszar w punktach załamania (x=-3,0), otrzymujemy pola: trójkąt (\frac12\cdot3\cdot4{,}5), trapez (\frac{4{,}5+3}{2}\cdot3) i trójkąt (\frac12\cdot2\cdot3). Ich suma wynosi [ 6{,}75+11{,}25+3=21. ]
a) (6), b) (21).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
Ćwiczymy tutaj, jak dla funkcji przedziałami wykonać odbicie względem osi pionowej, zapisać wzór obrazu i rozwiązać kilka równań oraz nierówności dla obu funkcji.
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Po podstawieniu (-x) odwracamy nierówności opisujące części dziedziny: [ g(x)=f(-x)=\begin{cases} -1&x<-2,\ |x|-2&-2\le x\le3,\ 1&x>3. \end{cases} ]
a) Zera części środkowej to (-2,2). Wartości ujemne: (x<-2) oraz (-2<x<2).
b) Wartość (1) występuje dla (x\ge3). Każda wartość funkcji jest nie większa niż (1).
c) Wartość (-1) występuje dla (x<-2) oraz w punktach (-1,1). Nierówność (g(x)\le-1) zachodzi dla (x<-2) lub (-1\le x\le1).
a) (g(x)=0) dla ({-2,2}), (g(x)<0) dla ((-∞,-2)\cup(-2,2)).
b) (g(x)=1) dla ([3,∞)), (g(x)\le1) dla (\mathbb R).
c) (g(x)=-1) dla ((-∞,-2)\cup{-1,1}), (g(x)\le-1) dla ((-∞,-2)\cup[-1,1]).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem