NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 211
rozdział 4. Funkcje · temat „4.13. Proporcjonalność odwrotna” · 6 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
Spróbujmy tutaj z dwóch tabel rozpoznać stały iloczyn zmiennych, zapisać wzór odwrotnej proporcjonalności i przedstawić każdą zależność na wykresie.
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W proporcjonalności odwrotnej iloczyn (xy=a) jest stały.
a) Z pary (x=2{,}5, y=3{,}2) mamy (a=8), więc (y=\frac8x). Wiersz (y): (8,4,3{,}2,2,1{,}6).
b) Z pary (x=4, y=2{,}5) mamy (a=10), więc (y=\frac{10}{x}). Wiersz (y): (10,5,4,2{,}5,2).
a) (y=\frac8x), wartości (8;4;3{,}2;2;1{,}6). b) (y=\frac{10}{x}), wartości (10;5;4;2{,}5;2), zawsze dla (x>0).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
Podczas tego ćwiczenia trzeba z punktu należącego do hiperboli ustalić stałą kwotę przeznaczoną na zakupy, a potem uzupełnić ceny dla sześciu ilości produktu.
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Z punktu ((3,5)) wynika, że stała kwota wynosi [ k=xy=3\cdot5=15\text{ zł}. ] Zatem (y=\frac{15}{x}). Dla kolejnych argumentów (1,2,3,4,5,6) otrzymujemy wartości (15,7{,}5,5,3{,}75,3,2{,}5).
a) (k=15) zł. b)
| (x) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| (y) | 15 | 7,5 | 5 | 3,75 | 3 | 2,5 |
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
Analizujemy tutaj, jak dla czterech stałych odwrotnej proporcjonalności narysować hiperbole i policzyć ich punkty w pierwszej ćwiartce o całkowitych współrzędnych.
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dla (y=\frac ax), (x>0), punkty o obu współrzędnych całkowitych odpowiadają dodatnim dzielnikom (x) liczby (a).
a) (2): dzielniki (1,2), więc (2) punkty.
b) (5): dzielniki (1,5), więc (2) punkty.
c) (8): dzielniki (1,2,4,8), więc (4) punkty.
d) (18): dzielniki (1,2,3,6,9,18), więc (6) punktów.
a) (2), b) (2), c) (4), d) (6) punktów.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
Rozważamy tutaj, jak przy stałym obwodzie wielokątów foremnych powiązać liczbę boków z długością boku, przygotować tabelę, dziedzinę i wykres dyskretny.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Jeżeli wielokąt foremny ma (n) boków i obwód (12), to długość boku wynosi (a(n)=\frac{12}{n}). Dopuszczalne są wyłącznie całkowite (n=3,4,\ldots,12).
| (n) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (a(n)) | 4 | 3 | 2,4 | 2 | (12/7) | 1,5 | (4/3) | 1,2 | (12/11) | 1 |
Na wykresie zaznaczamy tylko te dziesięć punktów.
(a(n)=\frac{12}{n}), a dziedzina to (D={n\in\mathbb N:3\le n\le12}).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
Zadanie pokazuje, jak z wykresu czasu przejazdu ustalonego dystansu odczytać czasy odpowiadające czterem prędkościom rowerzysty.
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru (t=\frac{60}{v}).
a) (60:15=4) h.
b) (60:18=\frac{10}{3}) h (=3) h (20) min.
c) (60:24=2{,}5) h.
d) (60:25=2{,}4) h (=2) h (24) min.
a) (4) h, b) (3) h (20) min, c) (2{,}5) h, d) (2) h (24) min.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
Tutaj należy dla podróży o ustalonej długości dobrać opisy osi i przedstawić na wykresie odwrotną zależność czasu jazdy od prędkości auta.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dla średniej prędkości (v>0) czas podróży jest równy [ t(v)=\frac{240}{v}. ] Do szkicu wygodne są punkty ((40,6),(60,4),(80,3),(120,2)). Na osi poziomej odkładamy (v,[\mathrm{km/h}]), na pionowej (t,[\mathrm h]), a przez punkty prowadzimy malejącą gałąź hiperboli.
Zależność opisuje funkcja (t=\frac{240}{v}) dla (v>0); jej wykres leży w pierwszej ćwiartce i przechodzi przez podane punkty.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem