NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 208
rozdział 4. Funkcje · temat „4.12. Inne przekształcenia wykresu” · 7 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
Twoim celem jest to, by dla trzech funkcji naszkicować wykres pierwotny i moduł jego wartości, pozostawiając część nieujemną oraz odbijając część ujemną do góry.
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wykres (y=|f(x)|) otrzymujemy, pozostawiając część wykresu (f) nad osią (OX) i odbijając względem tej osi część leżącą poniżej niej.
a) Prosta (f(x)=-\frac12x+3) przechodzi przez ((0,3)) i ((6,0)). Dla (x>6) leży pod osią, więc [ |f(x)|=\begin{cases}-\frac12x+3&x\le 6,\[2mm]\frac12x-3&x>6.\end{cases} ]
b) Wykres (f(x)=2|x|-2) ma wierzchołek ((0,-2)) i miejsca zerowe (-1,1). Odbijamy środkowe ramiona dla (|x|<1), zatem (|f(x)|=|2|x|-2|).
c) Wykres (f(x)=-2|x|+2) ma wierzchołek ((0,2)) i miejsca zerowe (-1,1). Odbijamy części dla (|x|>1), zatem (|f(x)|=|-2|x|+2|).
Szkice wyznaczają wskazane punkty charakterystyczne; czerwone części poniżej osi (OX) należy odbić symetrycznie ku górze.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
Skupiamy się na tym, jak z jednego rysunku utworzyć trzy wykresy przez moduł wartości lub argumentu i policzyć przecięcia każdej wersji z ustalonym poziomem.
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Na skanie źródłowym wykres jest łamaną na przedziale ([-5,5]). Liczbę przecięć z prostą (y=1) liczymy po wykonaniu każdego przekształcenia.
a) Dla (g(x)=|f(x)|) wszystkie fragmenty poniżej osi (OX) odbijamy ku górze. Prosta (y=1) przecina otrzymaną łamaną (10) razy.
b) Dla (g(x)=f(|x|)) zachowujemy część wykresu (f) dla (x\ge0) i odbijamy ją względem osi (OY). Po obu stronach osi są po (3) przecięcia, razem (6).
c) Dla (g(x)=f(-|x|)) zachowujemy lewą część wykresu (f) i odbijamy ją względem osi (OY). Otrzymujemy po (2) przecięcia z każdej strony, razem (4).
Liczba rozwiązań równania (g(x)=1): a) (10), b) (6), c) (4).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
Należy tutaj z prawej połowy zadanego wykresu zbudować funkcję parzystą, a następnie zastosować moduł wartości i porównać oba rezultaty.
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Argument (|x|) przyjmuje tylko wartości nieujemne. Dlatego w obu podpunktach wykorzystujemy wyłącznie fragment źródłowego wykresu dla (x\in[0,4]), a następnie odbijamy go względem osi (OY).
a) Tak otrzymany wykres jest wykresem (y=f(|x|)) i ma dziedzinę ([-4,4]).
b) Z wykresu z punktu a) pozostawiamy części nad osią (OX), a części ujemne odbijamy względem (OX). Otrzymujemy (y=|f(|x|)|).
Oba wykresy są parzyste i powstają z prawej części wykresu (f); w punkcie b) cały wykres leży dodatkowo na osi (OX) lub nad nią.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
Wykorzystujemy parzystość modułu argumentu do naszkicowania trzech funkcji, których wartości powstają przez podniesienie przesuniętego modułu do kwadratu.
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wszystkie funkcje są parzyste, więc wystarczy narysować część dla (x\ge0) i odbić ją względem osi (OY).
a) Minima to ((-3,-4)) i ((3,-4)), punkt na osi (OY) to ((0,5)), a miejsca zerowe: (-5,-1,1,5).
b) (f(x)=x^2+4|x|+4). Jedynym minimum jest ((0,4)); wykres nie ma miejsc zerowych.
c) Minima to ((-1,-4)) i ((1,-4)), (f(0)=-3), a miejsca zerowe to (-3,3).
Szkice są symetryczne względem osi (OY) i przechodzą przez wymienione punkty charakterystyczne.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
Głównym celem jest to, by z wykresu funkcji utworzyć dwie różne kompozycje przesunięć i modułów: jedną działającą na wartości, a drugą na argument.
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Ze skanu odczytujemy punkty załamania wykresu (f): ((-1,-1)), ((1,3)), ((2,1)); poza nimi wykres jest poziomy na wysokości odpowiednio (-1) i (1).
a) Najpierw przesuwamy wykres o wektor ([1,-2]), a następnie odbijamy jego części ujemne względem (OX). Równoważnie [ g(x)=\begin{cases} 3&x\le0,\ |2x-3|&0\le x\le2,\ |5-2x|&2\le x\le3,\ 1&x\ge3. \end{cases} ]
b) Podstawienie (|x|-1) daje wykres parzysty: [ g(x)=\begin{cases} 2|x|-3&|x|\le2,\ -2|x|+5&2\le|x|\le3,\ -1&|x|\ge3. \end{cases} ]
Wykresy są jednoznacznie wyznaczone przez powyższe wzory przedziałowe; drugi z nich jest symetryczny względem osi (OY).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
Pracujemy tutaj nad tym, jak z funkcji części całkowitej zbudować funkcję części ułamkowej, naszkicować jej wykres i porównać wartości po zastąpieniu argumentu modułem.
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
a) Dla każdego (n\in\mathbb Z) i (x\in[n,n+1)) mamy ([x]=n), zatem [ g(x)=x-n. ] Wykres składa się więc z odcinków rosnących od ((n,0)) do nieosiąganego punktu ((n+1,1)).
b) Dla (x\ge0) równość zachodzi automatycznie. Gdy (x<0), dla liczb całkowitych obie strony są równe (0), a dla pozostałych (g(-x)=1-g(x)). Stąd potrzebujemy (g(x)=\frac12). Łącznie są to wszystkie ujemne wielokrotności (\frac12) oraz wszystkie liczby nieujemne.
a) (g) jest funkcją części ułamkowej opisaną powyżej. b) [ x\in\left{\frac{k}{2}:k\in\mathbb Z, k<0\right}\cup[0,\infty). ]
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 7
W ramach ćwiczenia trzeba rozróżnić cztery sposoby łączenia części całkowitej ze zmianą znaku lub modułem argumentu i wartości, a następnie narysować wykresy schodkowe.
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (n\in\mathbb Z).
a) Na każdym ([n,n+1)) mamy (f(x)=-n).
b) Równość ([-x]=n) zachodzi dla (-n-1<x\le-n); stopnie są więc lewostronnie otwarte i prawostronnie domknięte.
c) Na ([n,n+1)) mamy (f(x)=|n|).
d) Dla (n=0) wartość (0) występuje na ((-1,1)). Dla (n\ge1) wartość (n) występuje na [ (-n-1,-n]\cup[n,n+1). ]
Szkice tworzą stopnie opisane w rozwiązaniu; zaznaczenie końców przedziałów rozróżnia w szczególności wykresy (-[x]) oraz ([-x]).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem