NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 205

W każdym podpunkcie wykres $g$ otrzymujemy, zastępując każdy punkt $(x,y)$ wykresu $f$ punktem $(x,-y)$. Zbiory wartości odbijają się więc względem zera.

a) Z wykresu: $f(D_f)=[-1,3]$. Po zmianie znaków $g(D_g)=[-3,1]$.

b) Najmniejsza wartość funkcji $f$ to $-2$, a największa $4$. Zatem $f(D_f)=[-2,4]$ i $g(D_g)=[-4,2]$.

c) Lewy, odłączony od reszty fragment przyjmuje wartości z $(2,4]$, a pozostała część wartości z $[-2,1]$. Stąd $f(D_f)=[-2,1]\cup(2,4].$ Po odbiciu: $g(D_g)=[-4,-2)\cup[-1,2].$

Punkt wspólny wykresów $y=f(x)$ i $y=-f(x)$ musi spełniać $f(x)=-f(x),$ czyli $f(x)=0$. Szukamy więc miejsc zerowych funkcji $f$.

a) $|x|-1=0$, więc $x=-1$ lub $x=1$.
b) $|x|+2>0$ dla każdego $x$ — brak punktów wspólnych.
c) $|x-2|=0$, zatem $x=2$.
d) $|x+2|=0$, zatem $x=-2$.
e) $\left|\frac12x\right|-2=0$, czyli $|x|=4$ i $x=-4$ lub $x=4$.
f) $|2x|+1>0$ dla każdego $x$ — brak punktów wspólnych.

Wykres $g(x)=f(-x)$ jest odbiciem wykresu $f$ względem osi $OY$. Punkt $(x,y)$ przechodzi na $(-x,y)$, zatem dziedzina $[a,b]$ przechodzi na $[-b,-a]$.

a) Ze skanu $D_f=[-4,3]$, więc $D_g=[-3,4]$. Do szkicu odbijamy łamaną, m.in. punkty $(-4,-1),(-2,-1),(1,2),(3,2)$.

b) Także $D_f=[-4,3]$, a zatem $D_g=[-3,4]$. Charakterystyczne punkty $(-4,-1),(-3,-1),(2,4),(3,2)$ zmieniają znaki pierwszych współrzędnych.

c) Tutaj $D_f=[-3,4]$, więc $D_g=[-4,3]$. Odbijamy kolejno punkty łamanej $(-3,-1),(-2,1),(1,-2),(3,4),(4,4)$ względem osi $OY$.

Funkcja $g(x)=-f(x)$ zmienia znaki wartości, nie zmieniając warunków na $x$. W funkcji $h(x)=-f(-x)$ zmieniamy najpierw znaki argumentów i odwracamy przedziały, a potem zmieniamy znaki wartości.

a)

$$g(x)=\begin{cases} 2&x<-2,\\ -x&-2\le x\le3,\\ -3&x>3, \end{cases} \qquad h(x)=\begin{cases} -3&x<-3,\\ x&-3\le x\le2,\\ 2&x>2. \end{cases}$$

b)

$$g(x)=\begin{cases} -x-2&x<-1,\\ -|x|&-1\le x\le2,\\ -3&x>2, \end{cases}$$

oraz

$$h(x)=\begin{cases} -3&x<-2,\\ -|x|&-2\le x\le1,\\ x-2&x>1. \end{cases}$$

Ze skanu odczytujemy łamaną funkcji $f$ przez punkty $(-3,3),\ (-1,3),\ (3,-1),\ (5,1).$ Stąd $D_f=[-3,5]$ oraz $f(D_f)=[-1,3]$.

a) Dla $g(x)=f(-x)$ odbijamy względem osi $OY$: $(x,y)\mapsto(-x,y)$. Otrzymujemy $D_g=[-5,3]$ i $g(D_g)=[-1,3]$.

b) Jeśli $t=-x+2$, to $x=2-t$. Punkty źródłowe przechodzą na $(5,3),(3,3),(-1,-1),(-3,1)$. Zatem $D_g=[-3,5]$ i $g(D_g)=[-1,3]$.

c) Teraz $t=-x-2$, czyli $x=-t-2$, a na końcu dodajemy $1$ do wartości. Obrazy punktów to $(1,4),(-1,4),(-5,0),(-7,2)$. Stąd $D_g=[-7,1]$, $g(D_g)=[0,4]$.

d) Dla $t=-x+1$ mamy $x=1-t$, po czym zmieniamy znak wartości. Otrzymujemy punkty $(4,-3),(2,-3),(-2,1),(-4,-1)$, więc $D_g=[-4,4]$, $g(D_g)=[-3,1]$.