Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 202

rozdział 4. Funkcje · temat „4.11. Przekształcanie wykresu przez symetrię względem osi układu współrzędnych” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 1

Rozważamy tutaj, jak odbić wykres funkcji względem osi odciętych i porównać dla obu wykresów dziedziny, zbiory wartości oraz przedziały wzrostu i spadku.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wykres $g$ jest odbiciem wykresu $f$ względem osi $OX$ . Odbicie nie zmienia argumentów, dlatego obie funkcje mają tę samą dziedzinę $[-4,5]$ . Zmienia natomiast każdą wartość $y$ na $-y$ .

Ze źródłowego wykresu odczytujemy $f(D_f)=[-1,3],$ więc $g(D_g)=[-3,1].$

Funkcja $f$ maleje od $x=-2$ do $x=2$ , a potem rośnie od $x=2$ do $x=5$ . Po odbiciu kierunek monotoniczności się odwraca, zatem $g$ jest rosnąca tam, gdzie $f$ jest malejąca, czyli na $[-2,2]$ .

Odpowiedź

a) $D_f=D_g=[-4,5]$ , $f(D_f)=[-1,3]$ , $g(D_g)=[-3,1]$ .
b) $f$ jest rosnąca na $[2,5]$ , a $g$ na $[-2,2]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 2

Zadanie pokazuje, jak zestawić wykres wartości bezwzględnej i parabolę z ich odbiciami względem osi poziomej oraz podać zbiory wartości wszystkich czterech funkcji.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W obu podpunktach $g(x)=-f(x)$ , więc wykres $g$ jest odbiciem wykresu $f$ względem osi $OX$ .

a) Wykres $f(x)=|x|$ jest literą V z wierzchołkiem $(0,0)$ i leży na lub nad osią $OX$ . Po odbiciu otrzymujemy $g(x)=-|x|$ , leżący na lub pod osią. Stąd $f(D_f)=[0,\infty),\qquad g(D_g)=(-\infty,0].$

b) Parabola $f(x)=x^2$ ma wierzchołek $(0,0)$ i ramiona skierowane w górę. Jej odbicie, $g(x)=-x^2$ , ma ramiona skierowane w dół. Zatem również $f(D_f)=[0,\infty),\qquad g(D_g)=(-\infty,0].$

Odpowiedź

W obu podpunktach: $f(D_f)=[0,\infty),\qquad g(D_g)=(-\infty,0].$ Wykres $g$ otrzymujemy przez odbicie wykresu $f$ względem osi $OX$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem