NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 201

Z każdego rysunku odczytujemy wierzchołek przesuniętej paraboli. Jeśli jest nim $(p,q)$, to $f(x)=(x-p)^2+q$, a wektor przesunięcia wynosi $[p,q]$.

a) Wierzchołek $(2,-2)$: $f(x)=(x-2)^2-2$, wektor $[2,-2]$.

b) Wierzchołek $(1,2)$: $f(x)=(x-1)^2+2$, wektor $[1,2]$.

c) Wierzchołek $(-2,-1)$: $f(x)=(x+2)^2-1$, wektor $[-2,-1]$.

a) Wierzchołek wykresu to $(-2,3)$, więc najmniejsza wartość wynosi $3$ i miejsc zerowych nie ma. Zbiór wartości: $[3,\infty)$.

b) Wierzchołek $(2,-3)$. Równanie $|x-2|-3=0$ daje $|x-2|=3$, czyli $x=-1$ lub $x=5$. Zbiór wartości $[-3,\infty)$.

c) Wierzchołek $(-1,-2)$. Z $|x+1|=2$ otrzymujemy $x=-3$ lub $x=1$. Zbiór wartości $[-2,\infty)$.

a) Wykresy przecinają się dla $x=-4$ i $x=2$. Na tym przedziale $g$ leży nad $f$. Dzielimy obszar pionowymi prostymi $x=0$ i $x=1$. Otrzymujemy kolejno: trójkąt o podstawie $4$ i wysokości $4$, trapez o szerokości $1$ i równoległych bokach $4,1$ oraz trójkąt o podstawie i wysokości $1$. Zatem

\frac12\cdot1\cdot1=8+\frac52+\frac12=11.$$ **b)** Punkty przecięcia mają odcięte $-4$ i $0$. Funkcja $g$ leży wyżej, a wykres $f$ zmienia kierunek przy $x=-1$. Powstają dwa trójkąty: pierwszy ma podstawę i wysokość równe $3$, drugi — podstawę $1$ i wysokość $3$. Stąd $$P=\frac12\cdot3\cdot3+\frac12\cdot1\cdot3=\frac92+\frac32=6.$$

Ze skanu odczytujemy $D_f=[-2,6]$, $f(D_f)=[-2,4]$ oraz łamaną przez $(-2,2),(0,2),(1,4),(2,2),(3,4),(6,-2)$.

a) $g(x)=f(x+2)-2$ przesuwa wykres o $[-2,-2]$. Stąd $D_g=[-4,4]$, $g(D_g)=[-4,2]$. Warunek $g(x)\le0$ odpowiada $f(x+2)\le2$, co po przesunięciu daje $[-4,-2]\cup\{0\}\cup[2,4]$.

b) Wektor przesunięcia to $[1,2]$, więc $D_g=[-1,7]$, $g(D_g)=[0,6]$. Wartość $0$ występuje tylko w obrazie punktu $(6,-2)$, czyli dla $x=7$.

c) Wektor $[2,-4]$ daje $D_g=[0,8]$ i $g(D_g)=[-6,0]$. Cały wykres leży na lub pod osią $OX$, więc nierówność spełnia każdy $x\in[0,8]$.

Wykres $y=\sqrt{x}$ ma punkt początkowy $(0,0)$, dziedzinę $[0,\infty)$ i zbiór wartości $[0,\infty)$. Przesuwamy te przedziały razem z wykresem.

a) Wektor $[1,3]$: $D_g=[1,\infty)$, $g(D_g)=[3,\infty)$.

b) Wektor $[-4,-2]$: $D_g=[-4,\infty)$, $g(D_g)=[-2,\infty)$.

c) Wektor $[-1,-1]$: $D_g=[-1,\infty)$, $g(D_g)=[-1,\infty)$.

Przesunięcie o $[a,b]$ dodaje $a$ do obu końców dziedziny i $b$ do obu końców zbioru wartości.

a) $[-7,-1]+2=[-5,1]$, $[5,8]+3=[8,11]$.

b) $[-7,-1]-3=[-10,-4]$, $[5,8]-5=[0,3]$.

c) Po dodaniu $-6\frac13$ do dziedziny i $13\frac23$ do wartości:

g(D_g)=\left[18\frac23,21\frac23\right].$$

Wierzchołek wykresu $f(x)=|x+2|-3$ to $(-2,-3)$. Wektor przesunięcia jest różnicą współrzędnych wierzchołka $g$ i wierzchołka $f$.

a) $g$ ma wierzchołek $(3,0)$, więc wektor $(3,0)-(-2,-3)=[5,3]$.

b) Wierzchołek $(0,1)$ daje $[2,4]$.

c) Wierzchołek $(-3,-4)$ daje $[-1,-1]$.