NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 199

Jeśli $A=(x_A,y_A)$ i $\overrightarrow{AB}=[u,v]$, to $B=(x_A+u,y_A+v)$.

a) $B=(-3+9,5+0)=(6,5)$.

b) $B=(2-5,2-2)=(-3,0)$.

c) $B=(\frac52+3,2-\frac32)=(\frac{11}{2},\frac12)$.

d) $B=(4-\frac{11}{2},-1+\frac12)=(-\frac32,-\frac12)$.

Dla $B=(x_B,y_B)$ i $\overrightarrow{AB}=[u,v]$ mamy $A=(x_B-u,y_B-v)$.

a) $A=(0-3,4-4)=(-3,0)$.

b) $A=(-2-(-3),3-2)=(1,1)$.

c) $A=(-1-14,2-(-15))=(-15,17)$.

d) $A=(1-(-22),4-(-28))=(23,32)$.

a) $\overrightarrow{AB}=[\frac12-8,-2-4]=[-7\frac12,-6]$, więc wektor przeciwny ma współrzędne $[7\frac12,6]$ — dokładnie podane w zadaniu.

b) $\overrightarrow{AB}=[3,-\frac{17}{6}]$, więc jego wektor przeciwny nie jest podaną parą. Upraszczamy $\frac6{3-\sqrt3}=3+\sqrt3.$ Zatem $\overrightarrow{CD}=[3,-\frac{13}{6}]$, a wektor przeciwny to $[-3,\frac{13}{6}]=[-3,2\frac16]$.

Ze skanu odczytujemy $P(-3,-2)$, $Q(-1,2)$, $P_1(2,-1)$, $Q_1(4,3)$.

a) $\overrightarrow{PP_1}=[2-(-3),-1-(-2)]=[5,1]$; ten sam wektor otrzymujemy z $\overrightarrow{QQ_1}$.

b) Po dodaniu $[2,-2]$ do obu końców: $P'=(-1,-4)$, $Q'=(1,0)$.

c) Po dodaniu $[-2,1]$: $P''=(-5,-1)$, $Q''=(-3,3)$.

a) Trójkąt $ABC$ jest opisany nierównościami $y\ge-3$, $y\le x+2$, $y\le-2x+5$. Po przesunięciu o $[-2,1]$ dostajemy $y\ge-2$, $y\le x+5$, $y\le-2x+2$. W części wspólnej aktywne są proste $y=-2,\qquad y=x+2,\qquad y=-2x+2.$ Tworzą trójkąt o wierzchołkach $(-4,-2)$, $(2,-2)$, $(0,2)$, podstawie $6$ i wysokości $4$. Pole wynosi $\frac12\cdot6\cdot4=12$.

b) Dla części wspólnej aktywne krawędzie mają równania $y=\frac23x+2,qquad y=-\frac12x+2,qquad y=3x+9.$ Ich przecięcia to $(0,2)$, $(-3,0)$, $(-2,3)$. Pole obliczone ze wzoru wyznacznikowego wynosi $\frac12\left|3\cdot3-2\cdot1\right|=\frac72=3{,}5.$

Ze skanu odczytujemy $A(-2,-1)$, $B(4,-1)$, $C(4,2)$, $D(-2,2)$. Prostokąt ma więc szerokość $6$ i wysokość $3$. Po przesunięciu osiowo równoległego prostokąta o $[a,b]$ wspólne wymiary wynoszą $6-|a|$ i $3-|b|$, o ile są dodatnie.

a) Dla $[-3,2]$ część wspólna ma wymiary $3\times1$, więc pole $3$.

b) Dla $[4\frac12,-1]$ wspólne wymiary to $1\frac12\times2$, więc pole również $3$.

Z równości $\overrightarrow{BC}=C-B=[-4,4]$ mamy $B=C-[-4,4]=(6,0)$. Analogicznie $D=C-[9,3]=(-7,1)$. W równoległoboku $A+C=B+D$, zatem $A=B+D-C=(-3,-3).$

Wektory boków wychodzące z $A$ to $\overrightarrow{AB}=[9,3],qquad \overrightarrow{AD}=[-4,4].$ Pole równoległoboku wynosi $|9\cdot4-3\cdot(-4)|=48$. Ponieważ $\vec v=[3,1]=\frac13\overrightarrow{AB}$, obraz jest przesunięty o jedną trzecią długości boku $AB$. Część wspólna ma pełny wymiar w kierunku $AD$ i $\frac23$ wymiaru w kierunku $AB$, więc jej pole to $\frac23\cdot48=32.$