Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 197

rozdział 4. Funkcje · temat „4.9. Wektory w układzie współrzędnych” · 4 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 1

Celem jest to, by dla trzech par punktów w układzie współrzędnych narysować skierowane odcinki reprezentujące wektory od pierwszego punktu do drugiego.

3 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zaznaczamy punkty $A,B$ i prowadzimy od $A$ do $B$ odcinek zakończony grotem przy $B$ . Współrzędne wektora, pomocne przy kontroli rysunku, to $[x_B-x_A,y_B-y_A]$ .

a) $[4-(-3),-1-2]=[7,-3]$ .

b) $[-1-2,5-2]=[-3,3]$ .

c) $[6-6,-1-3]=[0,-4]$ .

Odpowiedź

Należy narysować wektory od podanych punktów $A$ do $B$ ; ich współrzędne kontrolne to odpowiednio a) $[7,-3]$ , b) $[-3,3]$ , c) $[0,-4]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Ćwiczenie 2

Ćwiczymy tutaj, jak z rysunku odczytać poziome i pionowe przemieszczenia końców trzech strzałek i zapisać współrzędne odpowiadających im wektorów.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Na rysunku liczymy zmianę współrzędnej poziomej od początku do grotu, a następnie zmianę pionową.

$\overrightarrow{GH}$ : $3$ jednostki w prawo i $3$ w dół, więc $[3,-3]$ .
$\overrightarrow{IJ}$ : $4$ w lewo i $5$ w dół, więc $[-4,-5]$ .
$\overrightarrow{MN}$ : $2$ w prawo i bez zmiany wysokości, więc $[2,0]$ .

Odpowiedź

$\overrightarrow{GH}=[3,-3]$ , $\overrightarrow{IJ}=[-4,-5]$ , $\overrightarrow{MN}=[2,0]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

W tym zadaniu należy rozmieścić pięć punktów w układzie, a potem obliczyć współrzędne ośmiu wektorów o różnych początkach i końcach.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy ze wzoru $\overrightarrow{PQ}=[x_Q-x_P,y_Q-y_P]$ .

a) $\overrightarrow{BC}=[6-3,3-4]=[3,-1]$ , $\overrightarrow{BE}=[-2-3,-2-4]=[-5,-6]$ .

b) $\overrightarrow{AC}=[6-(-2),3-3]=[8,0]$ , $\overrightarrow{AE}=[-2-(-2),-2-3]=[0,-5]$ .

c) $\overrightarrow{AB}=[5,1]$ , $\overrightarrow{BA}=[-5,-1]$ .

d) $\overrightarrow{BD}=[3-3,1-4]=[0,-3]$ , $\overrightarrow{DA}=[-2-3,3-1]=[-5,2]$ .

Odpowiedź

a) $[3,-1]$ , $[-5,-6]$ ; b) $[8,0]$ , $[0,-5]$ ;
c) $[5,1]$ , $[-5,-1]$ ; d) $[0,-3]$ , $[-5,2]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

Zadanie polega na tym, by w dwóch przypadkach obliczyć wektor od A do B, zmienić oba jego znaki i zapisać wektor skierowany przeciwnie.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wektor przeciwny do $\overrightarrow{AB}$ to $\overrightarrow{BA}=[x_A-x_B,y_A-y_B]$ .

a) $[2-3,1-7]=[-1,-6]$ .

\left[\frac{21}{4}-\left(-\frac72\right), -2-\frac{20}{3}\right] =\left[\frac{35}{4},-\frac{26}{3}\right] =\left[8\frac34,-8\frac23\right].

Odpowiedź

a) $[-1,-6]$ ; b) $\left[8\frac34,-8\frac23\right]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem