NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 196

Każdy wykres jest parabolą $y=x^2$ przesuniętą poziomo. Jej jedyne miejsce zerowe jest odciętą wierzchołka.

a) $(x-1)^2$: przesunięcie o $1$ w prawo, wierzchołek $(1,0)$.

b) $(x+1)^2$: przesunięcie o $1$ w lewo, wierzchołek $(-1,0)$.

c) $(x+2)^2$: przesunięcie o $2$ w lewo, wierzchołek $(-2,0)$.

W przykładzie 3 funkcja $f$ ma dziedzinę $[-4,4]$. Zapis $f(x-p)$ przesuwa jej wykres i dziedzinę o $p$ jednostek w prawo, a $f(x+p)$ — o $p$ jednostek w lewo.

a) Przesunięcie o $2$ w prawo: $[-4+2,4+2]=[-2,6]$.

b) Przesunięcie o $3$ w lewo: $[-4-3,4-3]=[-7,1]$.

c) Przesunięcie o $4$ w lewo: $[-4-4,4-4]=[-8,0]$.

Wykres $f(x)=|2x|$ jest literą V o wierzchołku $(0,0)$ i ramionach o nachyleniu $\pm2$. Zastąpienie $x$ przez $x-p$ przesuwa go o $p$ w prawo, a przez $x+p$ — o $p$ w lewo.

a) Przesunięcie o $3$ w prawo; wierzchołek $(3,0)$.

b) Przesunięcie o $2$ w prawo; wierzchołek $(2,0)$.

c) Przesunięcie o $2$ w lewo; wierzchołek $(-2,0)$.

Dziedziną $f$ jest $[-4,3]$. Przy przesunięciu wykresu o $p$ jednostek w prawo oba końce dziedziny zwiększają się o $p$; przy przesunięciu w lewo — zmniejszają się.

a) $f(x-2)$: o $2$ w prawo, dziedzina $[-2,5]$.

b) $f(x-3)$: o $3$ w prawo, dziedzina $[-1,6]$.

c) $f(x+1)$: o $1$ w lewo, dziedzina $[-5,2]$.

d) $f(x+2)$: o $2$ w lewo, dziedzina $[-6,1]$.

Oznaczmy $F(t)=t^3-4t$. Wiemy, że $F(t)=0$ dla $t\in\{-2,0,2\}$.

a) $g(x)=F(x-3)$, więc $x-3\in\{-2,0,2\}$. Po dodaniu $3$: $x\in\{1,3,5\}$.

b) $g(x)=F(x+5)$, więc $x+5\in\{-2,0,2\}$. Po odjęciu $5$: $x\in\{-7,-5,-3\}$.

Wartość bezwzględna jest równa zeru tylko wtedy, gdy jej argument jest zerem.

a) $3\cdot\frac12+a=0,$ więc $a=-\frac32$. Wtedy $f(x)=\left|3x-\frac32\right|=3\left|x-\frac12\right|$; wierzchołek wykresu to $\left(\frac12,0\right)$.

b) $\frac12(-4)+a=0,$ stąd $a=2$. Wtedy $f(x)=\left|\frac12x+2\right|=\frac12|x+4|$; wierzchołek to $(-4,0)$.