NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 190

Zera są przecięciami wykresu z osią $OX$. Dodatni znak odpowiada częściom nad osią, a znak niedodatni — częściom na osi lub pod nią.

a) Zera: $-3,2$. Wykres jest nad osią od lewego końca $-4$ do $-3$, a od $-3$ do prawego końca $6$ leży na osi lub pod nią.

b) Zera: $-3,-1,3,5$. Dodatnie są fragmenty $[-4,-3)$, $(-3,-1)$ oraz $(3,5)$; pozostałe punkty dziedziny są niedodatnie.

a) Dla poziomu $3$ środkowy fragment $|x|$ daje tylko $x=-3$; $x=3$ jest wyłączony i przechodzi do części $f=1$. Warunek $f>3$ spełniają $x<-5$ oraz $-5\leq x<-3$, czyli łącznie $x<-3$.

Dla poziomu $1$ środkowy fragment daje $x=-1,1$, a ostatnia część wszystkie $x\geq3$. Warunek $f\leq1$ zachodzi na $[-1,1]\cup[3,\infty)$.

b) Wartość $3$ występuje dla każdego $x>1$, a większych wartości funkcja nie przyjmuje. Wartość $1$ jest na pierwszej półprostej i dla końców środkowego fragmentu, więc dla $x\in(-\infty,-1]\cup\{1\}$. Nierówność $f\leq1$ zachodzi dla wszystkich $x\leq1$.

Rozwiązujemy $\frac14x^2\geq|x|.$ Po oznaczeniu $t=|x|\geq0$ otrzymujemy $\frac14t^2\geq t\iff t(t-4)\geq0.$ Zatem $t=0$ albo $t\geq4$, czyli $x=0$ albo $|x|\geq4$.