NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 191 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Ten przykład pokazuje, jak z trzech wykresów odczytać miejsca zerowe oraz osobno zbiory argumentów, dla których wartości są dodatnie i nieujemne.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Miejsca zerowe są przecięciami z osią $OX$ ; znaki odczytujemy z położenia wykresu względem osi.

a) Zera: $-2,0,3$ . Dodatniość: $[-4,-2)\cup(-2,0)\cup(3,4]$ ; nieujemność: $[-4,0]\cup[3,4]$ .

b) Zera: $-4,-2,2,3$ . Dodatniość: $(-4,-2)\cup(2,3)$ ; nieujemność: $[-4,-2]\cup[2,3]$ .

c) Zera: $-4,-2,0,2,4$ . Dodatniość: $(-4,-2)\cup(-2,0)$ ; nieujemność: $[-4,0]\cup\{2,4\}$ .

Odpowiedź

Wyniki dla zer, $f>0$ i $f\geq0$ są podane wyżej osobno w a)–c).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Twoim celem jest to, by z jednego wykresu rozwiązać trzy równania poziomicowe i odpowiadające im nierówności dla poziomów 0, 2 oraz 3.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Poziom $y=0$ przecina wykres dla $x=-1,1,4$ . Wykres leży nad osią dla $x\in(-\infty,-1)\cup(1,4)$ .

b) Poziom $y=2$ jest osiągany tylko w wierzchołku $x=2$ . Wartości co najmniej $2$ występują na lewej półprostej $x\leq-2$ oraz dla $x=2$ .

c) Wartość $3$ przyjmuje cała lewa półprosta $x\leq-2$ . Cały wykres leży nie wyżej niż $y=3$ , więc nierówność $f(x)\leq3$ zachodzi dla każdego $x\in\mathbb R$ .

Odpowiedź

a) $f=0$ : $\{-1,1,4\}$ ; $f>0$ : $(-\infty,-1)\cup(1,4)$ .
b) $f=2$ : $\{2\}$ ; $f\geq2$ : $(-\infty,-2]\cup\{2\}$ .
c) $f=3$ : $(-\infty,-2]$ ; $f\leq3$ : $\mathbb R$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Skupiamy się na tym, jak naszkicować cztery funkcje przedziałowe, a następnie dla poziomu 1 odczytać rozwiązania równania i nierówności z wartością co najmniej 1.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Porównujemy każdy fragment funkcji z poziomem $y=1$ .

a) $f=1$ tylko dla $x=-1$ ; $f\geq1$ dla $x\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ .

b) $f=1$ dla $x\in(-\infty,-4)\cup\{-1,1\}$ ; $f\geq1$ dla $x\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ .

c) $f=1$ dla $x\in(-\infty,-2]\cup\{-\frac12,\frac12\}$ ; $f\geq1$ dla $x\in(-\infty,-\frac12]\cup[\frac12,\infty)$ .

d) $f=1$ dla $x\in\{-\frac12,\frac12\}\cup(1,\infty)$ ; $f\geq1$ dla $x\in[-2,-\frac12]\cup[\frac12,\infty)$ .

Odpowiedź

Rozwiązania równań $f(x)=1$ i nierówności $f(x)\geq1$ podano w rozwiązaniu dla każdego z podpunktów a)–d).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Należy tutaj porównać wykres sześcianu i prostą y=x, znaleźć ich punkty przecięcia oraz przedziały, na których jeden wykres leży niżej lub nie niżej.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Punkty przecięcia spełniają $x^3=x\iff x(x-1)(x+1)=0,$ więc są to $x=-1,0,1$ .

Znak różnicy $x^3-x=x(x-1)(x+1)$ jest ujemny na $(-\infty,-1)\cup(0,1)$ i nieujemny na dopełnieniu wraz z zerami.

Odpowiedź

a) $\{-1,0,1\}$ .
b) $(-\infty,-1)\cup(0,1)$ .
c) $[-1,0]\cup[1,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

To ćwiczenie sprawdza, czy potrafisz graficznie rozwiązać dwie pary problemów: przecięcia paraboli z modułem lub prostą oraz nierówności opisujące wzajemne położenie wykresów.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Niech $t=|x|\geq0$ . Wtedy $x^2=|2x|\iff t^2=2t\iff t(t-2)=0,$ więc $x=-2,0,2$ . Nierówność $t^2<2t$ daje $0<t<2$ , czyli $x\in(-2,0)\cup(0,2)$ .

b) $x^2=2-x\iff x^2+x-2=(x+2)(x-1)=0,$ więc $x=-2$ lub $x=1$ . Ponieważ parabola ma ramiona w górę, $(x+2)(x-1)\geq0$ dla $x\leq-2$ lub $x\geq1$ .

Odpowiedź

a) Równanie: $\{-2,0,2\}$ ; nierówność: $(-2,0)\cup(0,2)$ .
b) Równanie: $\{-2,1\}$ ; nierówność: $(-\infty,-2]\cup[1,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem