NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 19

Obliczamy każdą z trzech liczb.

a)

=\frac{\frac{15}{16}}{-\frac{15}{56}}=-\frac72,$$ $$y=\frac{13}{5}\cdot\frac{50}{11}\cdot\frac{44}{13}\cdot\left(-\frac14\right)=-10,$$ $$z=\frac{24}{11}\cdot\frac32\cdot\frac{11}{4}\cdot\left(-\frac43\right)=-12.$$ Zatem $-12<-10<-\frac72$. **b)** $$x=\frac{\frac{11}{4}\cdot7-22}{11}+\frac74 =\frac{-\frac{11}{4}}{11}+\frac74=\frac32,$$ $$y=\frac{\frac6{11}-\frac13}{\frac{11}{3}-\frac52}\cdot\frac{11}{4} =\frac{\frac7{33}}{\frac76}\cdot\frac{11}{4}=\frac12,$$ $$z=2-\frac{\frac{15}{2}}{\frac{25}{2}}=2-\frac35=\frac75.$$ Zatem $\frac12<\frac75<\frac32$.

a) Drugi czynnik iloczynu jest równy $\frac54-\frac54=0$, więc

=\frac{\frac{13}{15}}{-\frac1{10}}=-\frac{26}{3}=-8\frac23.$$ **b)** $$\frac45\cdot\frac3{(-2)^2}-\frac{(-2)^2}{5} =\frac35-\frac45=-\frac15,$$ zatem $$\frac23-\left(-\frac15:\left(-\frac32\right)\right) =\frac23-\frac2{15}=\frac8{15}.$$ **c)** $$\left(-\frac16\right):\frac5{12}=-\frac25,qquad \frac14-\frac38:\frac58=\frac14-\frac35=-\frac7{20},$$ więc $-\frac25-(-\frac7{20})=-\frac1{20}$. **d)** $$\frac{\frac14+\frac18}{\frac49-\frac19} =\frac{\frac38}{\frac13}=\frac98=1\frac18.$$ **e)** $$\frac75\cdot\frac5{14}-\frac9{10\cdot3^2} =\frac12-\frac1{10}=\frac25,$$ stąd $$\frac35-\frac25:\left(-\frac15\right)=\frac35-(-2)=\frac{13}{5}=2\frac35.$$ **f)** $$\frac{\frac{23}{4}-\frac{25}{3}}{\frac12-\frac49} =\frac{-\frac{31}{12}}{\frac1{18}}=-\frac{93}{2},$$ oraz $\frac23:(-\frac4{27})=-\frac92$. Zatem wynik to $$-\frac{93}{2}-\left(-\frac92\right)=-42.$$ **g)** $$\frac45:\left(\frac12-\frac15\right)=\frac83,$$ $$\frac23-\left(\frac38-\frac43\right)=\frac23+\frac{23}{24}=\frac{13}{8},$$ więc $\frac83-\frac{13}{8}=\frac{25}{24}=1\frac1{24}$. **h)** $$\left(\frac94-\frac{16}{9}\right):\frac{17}{4} =\frac{17}{36}\cdot\frac4{17}=\frac19.$$

Trzy dodatnie liczby mogą być długościami boków trójkąta tylko wtedy, gdy suma dwóch krótszych jest większa od najdłuższej.

a)

$x=\frac12\left(\frac23-\frac14\right)=\frac5{24},$

$y=\frac12-\left(\frac13-\frac14\right)=\frac5{12},$

=\frac1{36}+\frac1{144}=\frac5{144}.$$ Tutaj $$x+z=\frac{30}{144}+\frac5{144}=\frac{35}{144}<\frac{60}{144}=y,$$ więc nierówność trójkąta nie jest spełniona. **b)** $$x=\frac{\frac14}{\frac1{10}}=\frac52,qquad y=\frac{\frac{39}{20}}{\frac94}=\frac{13}{15},qquad z=\frac{\frac{11}{6}}{\frac{23}{12}}=\frac{22}{23}.$$ Ponieważ $$y+z=\frac{13}{15}+\frac{22}{23}=\frac{629}{345}<\frac52=x,$$ także w tym przypadku trójkąt nie istnieje.

Stosujemy podany wzór $a=\frac{n+1}{2}$, $b=\frac{n(n+1)}2$.

a) Dla $n=11$ mamy $a=6$, $b=66$, zatem

$\frac2{11}=\frac16+\frac1{66}.$

b) Dla $n=17$ mamy $a=9$, $b=153$, zatem

$\frac2{17}=\frac19+\frac1{153}.$

c) Dla $n=31$ mamy $a=16$, $b=496$, zatem

$\frac2{31}=\frac1{16}+\frac1{496}.$

W każdym przypadku mianowniki w sumie są różne.

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy

=\frac{n+1-n}{n(n+1)} =\frac1{n(n+1)},$$ co dowodzi wzoru. Każdy składnik sumy możemy więc zapisać jako różnicę: $$\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}.$$ Stąd suma teleskopowa ma postać

\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+ \left(\frac19-\frac1{10}\right)=1-\frac1{10}=\frac9{10}.

$$$$

Wszystkie trzy krany napełniają w godzinę $\frac16$ basenu. Wydajność kranu $C$ jest więc równa

=\frac{10-5-4}{60}=\frac1{60}.$$ Skoro sam kran $C$ napełnia $\frac1{60}$ basenu na godzinę, na cały basen potrzebuje $60$ godzin.

Kran $A$ napełnia w godzinę $\frac16$ zbiornika. Przez pierwsze $4$ godziny napełni

$4\cdot\frac16=\frac23$

zbiornika, więc pozostanie $\frac13$. Po odkręceniu kranu $B$ łączna wydajność wynosi

$\frac16+\frac19=\frac5{18}$

zbiornika na godzinę. Napełnienie pozostałej części zajmie

$\frac13:\frac5{18}=\frac65\text{ h}=1\text{ h }12\text{ min}.$

Łącznie upłynie $4$ h $+1$ h $12$ min.