NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 18 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Odczytujemy współrzędne dwunastu punktów z czterech osi liczbowych po ustaleniu wartości pojedynczego odstępu skali.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Odczytujemy ze skanu liczbę równych odcinków między opisanymi wartościami.

a) Między $11$ i $13$ jest pięć odcinków, więc jeden ma długość $\frac25$ . Punkty leżą odpowiednio dwa odcinki przed $11$ , dwa po $11$ i trzy po $11$ :

$A=10\frac15,\qquad B=11\frac45,\qquad C=12\frac15.$

b) Podziałka ma krok $\frac67$ . Zliczenie odcinków względem $-3$ i $0$ daje

$D=-3\frac37,\qquad E=-1\frac57,\qquad F=\frac67.$

c) Od $3\frac25$ do $7\frac25$ jest sześć odcinków, zatem krok wynosi $\frac23$ . Stąd

$G=2\frac1{15},\qquad H=6\frac1{15},\qquad I=8\frac{11}{15}.$

d) Z podziałki wynika krok $\frac6{11}$ . Otrzymujemy

$J=-\frac8{11},\qquad K=\frac4{11},\qquad L=2\frac6{11}.$

Odpowiedź

a) $A=10\frac15$ , $B=11\frac45$ , $C=12\frac15$ ;

b) $D=-3\frac37$ , $E=-1\frac57$ , $F=\frac67$ ;

c) $G=2\frac1{15}$ , $H=6\frac1{15}$ , $I=8\frac{11}{15}$ ;

d) $J=-\frac8{11}$ , $K=\frac4{11}$ , $L=2\frac6{11}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 2

Porównujemy trzy pary ułamków przez skrócenie do postaci nieskracalnej lub sprawdzenie iloczynów krzyżowych.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Skracamy każdy ułamek do postaci nieskracalnej.

a)

$x=\frac{27}{72}=\frac38,\qquad y=\frac{36}{96}=\frac38,$

więc $x=y$ .

b)

$x=\frac{60}{108}=\frac59,\qquad y=\frac{75}{135}=\frac59,$

więc $x=y$ .

c)

$x=\frac{84}{156}=\frac7{13},\qquad y=\frac{126}{246}=\frac{21}{41}.$

Ponieważ $7\cdot41=287$ , a $21\cdot13=273$ , ułamki nie są równe.

Odpowiedź

a) $x=y$ , b) $x=y$ , c) $x\ne y$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Liczymy tu dziewięć rozbudowanych sum i różnic ułamków oraz liczb mieszanych, poprawnie obsługując nawiasy i minusy.

9 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy składniki do wspólnych mianowników.

a) $\frac85-\frac{13}{6}=\frac{48-65}{30}=-\frac{17}{30}$ .

b) $\frac{27}{8}+\frac{17}{6}=\frac{81+68}{24}=\frac{149}{24}=6\frac5{24}$ .

c) $\frac12-(-\frac16-\frac13)=\frac12-(-\frac12)=1$ .

d) $\frac76-\frac54-\frac43=\frac{14-15-16}{12}=-\frac{17}{12}=-1\frac5{12}$ .

e) $-(-\frac83)+\frac7{15}=\frac83+\frac7{15}=\frac{47}{15}=3\frac2{15}$ .

f) $-\frac{25}{16}+\frac{11}{12}=\frac{-75+44}{48}=-\frac{31}{48}$ .

g)

=\frac{13}{8}+\frac{29}{12}=\frac{97}{24}=4\frac1{24}.$$ **h)** $\frac75-\frac{31}{8}-\frac18=\frac75-4=-\frac{13}{5}=-2\frac35$. **i)** $$\frac12-\frac13-\left(\frac14-\frac15\right) =\frac16-\frac1{20}=\frac7{60}.$$

Odpowiedź

a) $-\frac{17}{30}$ , b) $6\frac5{24}$ , c) $1$ , d) $-1\frac5{12}$ , e) $3\frac2{15}$ , f) $-\frac{31}{48}$ , g) $4\frac1{24}$ , h) $-2\frac35$ , i) $\frac7{60}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

Sprawdzamy tutaj, jak tę samą różnicę ułamków obliczyć raz z iloczynem mianowników, a raz z ich NWW, i porównać wygodę obu metod.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Iloczyn mianowników to $12\cdot18=216$ . Zatem

$\frac5{12}-\frac7{18}=\frac{90}{216}-\frac{84}{216}=\frac6{216}=\frac1{36}.$

b) $\operatorname{NWW}(12,18)=36$ , więc

$\frac5{12}-\frac7{18}=\frac{15}{36}-\frac{14}{36}=\frac1{36}.$

Oba dopuszczalne wspólne mianowniki prowadzą do tego samego wyniku, ale $36$ wymaga mniejszych liczb.

Odpowiedź

W obu sposobach różnica jest równa $\frac1{36}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Należy tutaj podstawić podane wartości wymierne za x, y i z w trzech ilorazach algebraicznych, a następnie je obliczyć.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy $x=\frac32$ , $y=-\frac14$ , $z=-\frac38$ .

a)

=\frac{\frac32+\frac14}{-\frac14+\frac38} =\frac{\frac74}{\frac18}=14.$$ **b)** $$\frac{x+y-z}{y+z} =\frac{\frac32-\frac14+\frac38}{-\frac14-\frac38} =\frac{\frac{13}{8}}{-\frac58}=-\frac{13}{5}=-2\frac35.$$ **c)** $$\frac{x-y+2z}{x+y+3z} =\frac{\frac32+\frac14-\frac34}{\frac32-\frac14-\frac98} =\frac1{\frac18}=8.$$

Odpowiedź

a) $14$ , b) $-2\frac35$ , c) $8$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

Liczymy tu cztery sumy i różnice liczb mieszanych przez zamianę na ułamki oraz dobranie wspólnych mianowników.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.

a)

=\frac{34-27-68}{24}=-\frac{61}{24}=-2\frac{13}{24}.$$ **b)** $$\frac{27}{4}-\frac83-\frac{19}{6} =\frac{81-32-38}{12}=\frac{11}{12}.$$ **c)** $$\frac{20}{9}-\frac{23}{6}+\frac{16}{3} =\frac{40-69+96}{18}=\frac{67}{18}=3\frac{13}{18}.$$ **d)** $$\frac{20}{9}+\frac{17}{12}-\frac78 =\frac{160+102-63}{72}=\frac{199}{72}=2\frac{55}{72}.$$

Odpowiedź

a) $-2\frac{13}{24}$ , b) $\frac{11}{12}$ , c) $3\frac{13}{18}$ , d) $2\frac{55}{72}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 5

Wykonujemy mnożenie i dzielenie ułamków oraz liczb mieszanych ze znakami, przestrzegając kolejności działań.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a)

$-\frac73\cdot\left(-\frac{27}{28}\right)=\frac94=2\frac14.$

b)

$-\frac{27}{8}:\frac{81}{16}=-\frac{27}{8}\cdot\frac{16}{81}=-\frac23.$

c)

=-\frac53\cdot\frac53=-\frac{25}{9}=-2\frac79.$$ **d)** Najpierw wykonujemy dzielenie: $$\frac{19}{6}:\left(-\frac{19}{9}\right)=-\frac32,$$ stąd $$\frac72-\left(-\frac32\right)=5.$$

Odpowiedź

a) $2\frac14$ , b) $-\frac23$ , c) $-2\frac79$ , d) $5$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem