NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 188

Funkcja $f(x)=\frac12x+1$ jest rosnąca, więc obraz każdego przedziału wyznaczamy, podstawiając jego końce i zachowując ich otwarcie.

a) $f(-4)=-1$, $f(4)=3$, zatem $[-1,3]$.

b) Pierwszy przedział daje $[-1,0]$, drugi $[1,3]$.

c) Z $[-4,0)$ otrzymujemy $[-1,1)$, a z $(2,4]$ — $(2,3]$.

Funkcja jest rosnąca. Obliczamy wartości na końcach odpowiednich fragmentów: $f(-4)=1$, $f(-2)=2$, $f(0)=3$, $f(2)=4$, $f(4)=5$, $f(6)=6$.

a) $[-4,6]$ przechodzi na $[1,6]$.
b) $[-4,0]\cup[2,4]$ przechodzi na $[1,3]\cup[4,5]$.
c) $[-4,-2]\cup[4,6]$ przechodzi na $[1,2]\cup[5,6]$.

Odwracamy zależność $y=2x-4$: $x=\frac{y+4}{2}.$ Ponieważ jest to przekształcenie rosnące, zachowuje ono kolejność i typy końców przedziałów.

a) $(-3,4]\mapsto(\frac12,4]$.
b) $(-2,2)\cup(2,\infty)\mapsto(1,3)\cup(3,\infty)$.
c) $(0,2)\cup\{3\}\mapsto(2,3)\cup\{\frac72\}$.
d) $\{0,2,3\}\mapsto\{2,3,\frac72\}$.

Wykres $g(x)=|x|-2$ ma minimum $-2$ w $x=0$ i rośnie wraz z $|x|$.

a) Na $[-4,-1]$ funkcja maleje od $2$ do $-1$: maksimum $2$ dla $x=-4$, minimum $-1$ dla $x=-1$.

b) Minimum $-2$ jest przyjmowane dla $x=0$. Wartości przy $x\to4^-$ zbliżają się do $2$, lecz $4$ nie należy do dziedziny, więc maksimum nie istnieje.

c) Minimum $-2$ jest dla $x=0$, a dziedzina jest nieograniczona w prawo, więc maksimum nie istnieje.

Wystarczy skonstruować przykłady o zadanych obrazach:

a) $f(x)=x$ dla $-2\leq x<6$ oraz $f(6)=-2$.
b) $f(x)=x-2$ dla $-2\leq x\leq2$, a $f(x)=\frac34x-\frac12$ dla $2<x\leq6$.
c) $f(x)=x$ dla $-2\leq x<3$, a $f(x)=5$ dla $3\leq x\leq6$.
d) $f(x)=0$ dla $-2\leq x<2$, a $f(x)=4$ dla $2\leq x\leq6$.

Bezpośrednie odczytanie wartości tych funkcji daje dokładnie wskazane zbiory.

Pierwiastek kwadratowy jest funkcją rosnącą na $[0,\infty)$, więc pierwiastkujemy końce przedziałów i zachowujemy ich domknięcie.

a) $(0,\sqrt{1/4}]=(0,\frac12]$.
b) $(\frac12,1)$.
c) $[2,3]$.
d) $[\sqrt{9/4},\sqrt{25/4}]=[\frac32,\frac52]$.

Funkcja $\sqrt[3]{x}$ jest rosnąca na całej prostej, dlatego obrazy przedziałów otrzymujemy przez spierwiastkowanie ich końców.

a) $[\sqrt[3]0,\sqrt[3]1]=[0,1]$.
b) $(0,\sqrt[3]8)=(0,2)$.
c) $[\sqrt[3]{-8},1]=[-2,1]$.
d) $(\sqrt[3]{-8},\infty)=(-2,\infty)$.