NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 183 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

W ramach ćwiczenia trzeba na dwóch wykresach wskazać maksymalne przedziały wzrostu, spadku i stałości funkcji w obrębie podanej dziedziny.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przedziały wyznaczają punkty zwrotne i poziome fragmenty wykresów.

a) Funkcja maleje od lewego końca dziedziny do $x=2$ , rośnie od $x=2$ do $x=4$ , a następnie jest stała.

b) Kolejne punkty zwrotne mają odcięte $-2,0,2,3$ . Wykres na przemian rośnie, maleje, rośnie, maleje i znów rośnie.

Odpowiedź

a) Maleje w $(-3,2]$ , rośnie w $[2,4]$ , jest stała w $[4,6)$ .
b) Rośnie w $(-3,-2]$ , $[0,2]$ , $[3,6)$ ; maleje w $[-2,0]$ i $[2,3]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Najważniejsze jest, aby odczytać z wykresu przedziały monotoniczności, a następnie zweryfikować trzy zdania o nierosnącym lub niemalejącym zachowaniu funkcji.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z wykresu odczytujemy: wzrost w $(-5,-4]$ , stałość w $[-4,-2]$ , spadek w $[-2,2]$ , wzrost w $[2,3]$ i stałość w $[3,4)$ .

Na $[-4,2]$ wartości najpierw są stałe, a potem maleją, więc A jest prawdziwe. Na $(-5,-2]$ wartości rosną, a potem są stałe, więc B jest prawdziwe. Na $[2,4)$ najpierw rosną, a potem są stałe, więc C także jest prawdziwe.

Odpowiedź

Rośnie w $(-5,-4]$ i $[2,3]$ , maleje w $[-2,2]$ , jest stała w $[-4,-2]$ i $[3,4)$ . Prawdziwe są A, B i C.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Rysujemy dwie funkcje na zadanym przedziale tak, by ich fragmenty dokładnie realizowały wskazane odcinki wzrostu, spadku i stałości.

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Można podać funkcje kawałkami.

a) Przykład ciągły:

f(x)=\begin{cases}x+1&-5<x\leq-1,\\-x-1&-1\leq x\leq3,\\x-7&3\leq x<6.\end{cases}

b) Przykład ciągły:

f(x)=\begin{cases}-x&-5<x\leq0,\\0&0\leq x\leq4,\\x-4&4\leq x\leq5,\\6-x&5\leq x<6.\end{cases}

Nachylenia kolejnych odcinków mają dokładnie znaki wymagane w poleceniu.

Odpowiedź

Przykładowe poprawne wykresy wyznaczają powyższe dwie funkcje kawałkami.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 4

Sedno zadania polega na tym, by dla dwóch wykresów podać kontrprzykład globalnej monotoniczności, a potem wyznaczyć osobne przedziały wzrostu, spadku lub stałości.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Wykres raz rośnie, potem maleje i znów rośnie, więc na całym $[-4,5]$ nie jest monotoniczny. Rośnie w $[-4,-2]$ i $[2,5]$ , a maleje w $[-2,2]$ .

b) Każdy z dwóch odcinków rośnie, ale po $x=-1$ następuje skok w dół, więc funkcja nie rośnie na całej dziedzinie. Rośnie osobno w $[-4,-1]$ oraz $(-1,5]$ .

Odpowiedź

a) Rośnie w $[-4,-2]$ , $[2,5]$ ; maleje w $[-2,2]$ .
b) Rośnie w $[-4,-1]$ i $(-1,5]$ ; skok w dół wyklucza monotoniczność na całej dziedzinie.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Spróbujmy tutaj za pomocą różnicy wartości formalnie udowodnić wskazaną monotoniczność trzech funkcji kwadratowych lub odwrotnościowych na odpowiednich półosiach.

3 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech $x_1<x_2$ należą do odpowiedniej dziedziny.

a) $f(x_2)-f(x_1)=6(x_2-x_1)(x_2+x_1)<0,$ bo $x_2-x_1>0$ , a $x_1+x_2<0$ . Funkcja maleje.

b)

f(x_2)-f(x_1)=\frac{3(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{x_1^2x_2^2}>0.

Oba czynniki w liczniku są ujemne, mianownik dodatni, więc funkcja rośnie.

c) $f(x_2)-f(x_1)=-8(x_2-x_1)(x_2+x_1)<0,$ bo oba czynniki w nawiasach są dodatnie. Funkcja maleje.

Odpowiedź

W a) i c) różnica $f(x_2)-f(x_1)$ jest ujemna, a w b) dodatnia; te znaki dowodzą odpowiednio malejącości, rosnącości i malejącości.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu