Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 182

rozdział 4. Funkcje · temat „4.4. Monotoniczność funkcji” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 3

Głównym celem jest to, by wybrać cztery z sześciu punktów możliwe do połączenia wykresem nierosnącym i osobno zbadać analogiczną możliwość dla funkcji niemalejącej.

2 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Ze skanu odczytujemy A(−5,−2)A(-5,-2), B(−5,3)B(-5,3), C(−1,−1)C(-1,-1), D(1,−2)D(1,-2), E(5,1)E(5,1) i F(5,−2)F(5,-2).

a) Punkty B,C,D,FB,C,D,F mają przy rosnących odciętych rzędne 3,−1,−2,−23,-1,-2,-2, czyli nigdy nie większe od poprzednich. Można więc połączyć je nierosnącą łamaną i uzupełnić wykres na całym [−5,5][-5,5].

b) Aby wybrać cztery punkty, trzeba wziąć po jednym dla każdej z czterech odciętych −5,−1,1,5-5,-1,1,5. Wtedy punkty o odciętych −1-1 i 11 mają rzędne odpowiednio −1-1 i −2-2, co wymusza spadek. Funkcja niemalejąca nie istnieje.

Odpowiedź

a) Przykład: nierosnąca łamana przez B,C,D,FB,C,D,F.
b) Nie można; maksymalnie da się wykorzystać trzy z punktów.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

Konstruujemy przykład wykresu rosnącego na kilku osobnych przedziałach, który w całej dziedzinie nie zachowuje jednego kierunku monotoniczności.

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Wystarczy podać przykład z rosnącymi fragmentami i skokiem w dół, np.

f(x)={xx<0,x−10x≥0.f(x)=\begin{cases}x&x<0,\\x-10&x\geq0.\end{cases}

Na każdym z przedziałów (−∞,0)(-\infty,0) i [0,∞)[0,\infty) funkcja rośnie. Nie jest jednak rosnąca na całej dziedzinie, bo np. −1<0-1<0, lecz f(−1)=−1>f(0)=−10f(-1)=-1>f(0)=-10.

Odpowiedź

Przykładem jest f(x)=xf(x)=x dla x<0x<0 i f(x)=x−10f(x)=x-10 dla x≥0x\geq0.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu