NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 174

Dla każdego podpunktu obliczamy pięć wartości. Otrzymujemy współrzędne punktów wykresu:

• a) $f(x)=x-1$: $(-1,-2),(0,-1),(1,0),(2,1),(3,2)$;
• b) $f(x)=-x$: $(-1,1),(0,0),(1,-1),(2,-2),(3,-3)$;
• c) $f(x)=|x|$: $(-1,1),(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)$;
• d) $f(x)=x^2$: $(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)$.

W każdym podpunkcie wykres tworzy dokładnie pięć izolowanych punktów, których nie łączymy linią.

Dla wspólnej dziedziny $\{-2,-1,0,1,2,3\}$ otrzymujemy:

Wykres każdego podpunktu składa się z sześciu punktów $(x,f(x))$ odczytanych z odpowiedniego wiersza.

W każdej tabeli przyrost wartości funkcji jest stały, więc można dobrać wzór liniowy:

• a) przy wzroście $x$ o $1$ wartość rośnie o $1$, a $f(0)=-4$, zatem $f(x)=x-4$;
• b) przy wzroście $x$ o $\frac12$ wartość rośnie o $1$, więc współczynnik kierunkowy wynosi $2$; ponieważ $f(0)=0$, mamy $f(x)=2x$;
• c) wartość maleje o $1$ przy wzroście $x$ o $1$, a $f(0)=4$, zatem $f(x)=-x+4$;
• d) współczynnik kierunkowy wynosi $2$, a $f(0)=-1$, więc $f(x)=2x-1$.

Wykresy w zadaniu składają się wyłącznie z punktów podanych w tabelach; wzory opisują te punkty, ale nie rozszerzają automatycznie dziedziny.

Wszystkie wykresy są częściami prostej $y=x+1$:

• a) odcinek od $(0,1)$ do $(4,5)$, oba końce zamalowane;
• b) odcinek od $(-2,-1)$ do $(3,4)$, oba końce zamalowane;
• c) półprosta rozpoczynająca się w zamalowanym punkcie $(1,2)$ i biegnąca w prawo oraz w górę;
• d) półprosta kończąca się w zamalowanym punkcie $(2,3)$ i biegnąca w lewo oraz w dół.

Wszystkie wykresy są częściami malejącej prostej $y=-x+3$:

• a) odcinek między niezamalowanymi punktami $(0,3)$ i $(4,-1)$;
• b) odcinek między niezamalowanymi punktami $(-3,6)$ i $(2,1)$;
• c) półprosta wychodząca w prawo i w dół z niezamalowanego punktu $(0,3)$;
• d) półprosta biegnąca w lewo i w górę, z niezamalowaną granicą w punkcie $(-1,4)$.

Wykres każdego podpunktu jest częścią prostej $y=x-1$ ograniczoną podaną dziedziną:

• a) odcinek od $(-3,-4)$ do $(0,-1)$ z oboma końcami zamalowanymi oraz odcinek od $(2,1)$ do $(4,3)$ z oboma końcami niezamalowanymi;
• b) fragment między niezamalowanymi punktami $(-2,-3)$ i $(5,4)$ z dodatkowym niezamalowanym punktem — dziurą — w $(4,3)$;
• c) cała prosta bez punktów $(-1,-2)$ oraz $(2,1)$;
• d) półprosta dla $x>0$, z niezamalowaną granicą $(0,-1)$ i usuniętym punktem $(3,2)$.

Rysunku przykładowej funkcji $f$ z Markdownu nie trzeba odczytywać: wzór i wszystkie dziedziny są zapisane tekstowo.

Mamy $f(n)=n\bmod4$ i $g(n)=n\bmod5$. Wartości mogą być równe tylko reszcie $r\in\{0,1,2,3\}$. Warunki

$$n\equiv r\pmod4,\qquad n\equiv r\pmod5$$

są równoważne $n\equiv r\pmod{20}$. Dla $0\le n<25$ otrzymujemy:

$$0,20;\quad 1,21;\quad 2,22;\quad 3,23.$$

Jest więc osiem argumentów. Wykresy tworzą punkty $(n,n\bmod4)$ i $(n,n\bmod5)$ dla $n\in\mathbb N$; są okresowe o okresach odpowiednio $4$ i $5$.