NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 169 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Ćwiczymy tutaj, jak z rysunku układu współrzędnych poprawnie odczytać pary współrzędnych siedmiu oznaczonych punktów.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Markdown nie zachowuje skali ani położenia punktów, dlatego odczytujemy je ze skanu strony 169. Najpierw odczytujemy odciętą, a następnie rzędną:

P(4,0),\quad Q(2,3),\quad R(5,1),\quad S(0,4),

T(-2,3),\quad U(3,-2),\quad W(-1,-2).

Odpowiedź

$P(4,0)$ , $Q(2,3)$ , $R(5,1)$ , $S(0,4)$ , $T(-2,3)$ , $U(3,-2)$ , $W(-1,-2)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

W tym zadaniu należy na podstawie znaków obu współrzędnych przyporządkować cztery podane punkty do właściwych ćwiartek układu.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

O numerze ćwiartki decydują znaki współrzędnych:

$(-,+)$ oznacza II ćwiartkę, więc $A$ leży w II;
$(+,-)$ oznacza IV ćwiartkę, więc $B$ leży w IV;
$(+,+)$ oznacza I ćwiartkę, więc $C$ leży w I;
$(-,-)$ oznacza III ćwiartkę, więc $D$ leży w III.

Odpowiedź

a) II, b) IV, c) I, d) III ćwiartka.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Zadanie polega na tym, by narysować osie współrzędnych i precyzyjnie zaznaczyć sześć punktów, w tym punkty leżące na osiach oraz o współrzędnej ułamkowej.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Na osiach leżą $A(0,5)$ i $E(-2,0)$ . Punkt $B(-2,4)$ zaznaczamy w II ćwiartce, $C(-1,-4)$ w III, $D(6,\frac32)$ w I, a $F(3,-3)$ w IV. Wspólna skala powinna obejmować co najmniej $x\in[-2,6]$ oraz $y\in[-4,5]$ .

Odpowiedź

Należy zaznaczyć punkty $A(0,5)$ , $B(-2,4)$ , $C(-1,-4)$ , $D(6,\frac32)$ , $E(-2,0)$ i $F(3,-3)$ w jednym układzie współrzędnych.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 4

Warto tutaj narysować dwa prostokąty o danych wierzchołkach i policzyć punkty o całkowitych współrzędnych leżące ściśle w ich wnętrzach.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Punkty wewnętrzne nie mogą leżeć na bokach prostokąta.

a) Współrzędna $x$ może być równa $2$ lub $3$ — $2$ możliwości, a $y$ może być równe $0,1,2$ — $3$ możliwości. Zatem wewnątrz leży $2\cdot3=6$ punktów kratowych.

b) Wewnętrzne całkowite odcięte to $-3,-2,\ldots,4$ — $8$ możliwości, a rzędne to $-1,0,1,2,3$ — $5$ możliwości. Otrzymujemy $8\cdot5=40$ punktów.

Odpowiedź

a) $6$ , b) $40$ punktów kratowych.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Sprawdzamy tutaj, jak dla dwóch trójkątów na siatce policzyć wewnętrzne punkty kratowe, a następnie porównać ich liczby i podać różnicę.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Liczymy punkty wewnętrzne, korzystając ze wzoru Picka $P=I+\frac{B}{2}-1$ .

Dla $T_1$ pole wynosi $\frac12\cdot6\cdot6=18$ . Liczba punktów kratowych na brzegu jest sumą $\gcd(6,0)+\gcd(6,6)+\gcd(0,6)=18$ . Stąd

I_1=18-\frac{18}{2}+1=10.

Dla $T_2$ pole wynosi $\frac12\cdot8\cdot4=16$ , a liczba punktów na brzegu to $\gcd(8,0)+\gcd(4,4)+\gcd(4,4)=16$ . Zatem

I_2=16-\frac{16}{2}+1=9.

Trójkąt $T_1$ zawiera o jeden punkt wewnętrzny więcej.

Odpowiedź

Więcej punktów kratowych leży wewnątrz $T_1$ : jest ich $10$ , czyli o $1$ więcej niż w $T_2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem