NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 168 — rozwiązania zadań

Zadanie 4

Rozważamy tutaj, jak przedstawić funkcję kwadratową na pięcioelementowej dziedzinie w tabeli i grafie oraz zbadać brakujące i wielokrotnie osiągane wartości.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Obliczamy kwadraty argumentów:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Graf opisują strzałki $-2\mapsto4$ , $-1\mapsto1$ , $0\mapsto0$ , $1\mapsto1$ , $2\mapsto4$ . Zbiór wartości wynosi $\{0,1,4\}$ . Zatem elementy $2,3,5$ zbioru $Y$ nie są wartościami, a $1$ i $4$ są przyjmowane dla dwóch argumentów.

Odpowiedź

a) Tabela i strzałki grafu znajdują się powyżej.
b) Wartościami nie są $2,3,5$ ; dla więcej niż jednego argumentu funkcja przyjmuje wartości $1$ i $4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Zadanie pokazuje, jak dla dwóch tabel określić dziedziny, odtworzyć grafy i reguły słowne oraz policzyć argumenty o dodatnich wartościach.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Dziedzina to $D_f=\{-1,0,1,2,3,4\}$ . Z tabeli widzimy, że $f(x)=x-3$ . Graf tworzą strzałki

-1\mapsto-4,\ 0\mapsto-3,\ 1\mapsto-2,\ 2\mapsto-1,\ 3\mapsto0,\ 4\mapsto1.

Wartość dodatnia występuje tylko dla argumentu $4$ .

b) Dziedzina to $D_f=\{-3,-2,-1,0,1,2\}$ , a opis słowny brzmi: funkcja przyporządkowuje liczbie liczbę przeciwną, czyli $f(x)=-x$ . Graf tworzą strzałki

-3\mapsto3,\ -2\mapsto2,\ -1\mapsto1,\ 0\mapsto0,\ 1\mapsto-1,\ 2\mapsto-2.

Wartości dodatnie występują dla trzech argumentów: $-3,-2,-1$ .

Odpowiedź

a) $D_f=\{-1,0,1,2,3,4\}$ , $f(x)=x-3$ ; wartość dodatnia dla jednego argumentu.
b) $D_f=\{-3,-2,-1,0,1,2\}$ , $f(x)=-x$ ; wartości dodatnie dla trzech argumentów.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

Tutaj należy dla funkcji przypisującej kwadrat pomniejszony o 4 znaleźć argumenty dające wartości ujemne oraz sprawdzić istnienie miejsc zerowych.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy ze wzoru $f(x)=x^2-4$ :

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$5$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$

Wartości ujemne odpowiadają argumentom $-1,0,1$ . Zera w tabeli występują dla $x=-2$ i $x=2$ .

Odpowiedź

Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x\in\{-1,0,1\}$ i ma dwa miejsca zerowe: $-2$ oraz $2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

Celem ćwiczenia jest to, by wskazać, który warunek definicji funkcji zawodzi przy przyporządkowaniu pierwiastka: domknięcie w zbiorze wartości lub określoność dla każdego argumentu.

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Dla $x=2$ oraz $x=3$ liczby $\sqrt2$ i $\sqrt3$ są niewymierne, a więc nie należą do przeciwdziedziny $Y=\mathbb Q$ . Nie każdemu elementowi $X$ przyporządkowano zatem element zbioru $Y$ .

b) Liczba $-1\in X$ nie ma pierwiastka kwadratowego w zbiorze liczb rzeczywistych. Nie otrzymuje więc żadnego elementu zbioru $Y=\mathbb R$ .

Odpowiedź

a) Nie jest to funkcja $X\to\mathbb Q$ , ponieważ $\sqrt2,\sqrt3\notin\mathbb Q$ .
b) Nie jest to funkcja $X\to\mathbb R$ , ponieważ $\sqrt{-1}$ nie jest liczbą rzeczywistą.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 8

W tym przykładzie trzeba dla czterech dzielników policzyć dwucyfrowe liczby dające resztę zero, czyli wyznaczyć liczby miejsc zerowych odpowiednich funkcji.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Miejscami zerowymi są dwucyfrowe wielokrotności liczby $n$ .

a) Wielokrotności $2$ od $10$ do $98$ : $\frac{98-10}{2}+1=45$ .
b) Wielokrotności $4$ od $12$ do $96$ : $\frac{96-12}{4}+1=22$ .
c) Wielokrotności $5$ od $10$ do $95$ : $\frac{95-10}{5}+1=18$ .
d) Wielokrotności $10$ od $10$ do $90$ : $\frac{90-10}{10}+1=9$ .

Odpowiedź

a) $45$ , b) $22$ , c) $18$ , d) $9$ miejsc zerowych.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

Trzeba tu ustalić pełny zakres możliwych sum cyfr liczb dwucyfrowych i wypisać wszystkie liczby dające sumę 3 oraz sumę 7.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najmniejsza suma cyfr liczby dwucyfrowej to $1$ (dla $10$ ), a największa to $18$ (dla $99$ ). Każdą wartość całkowitą od $1$ do $18$ można uzyskać, więc zbiorem wartości jest $\{1,2,\ldots,18\}$ .

Dla sumy cyfr $3$ otrzymujemy liczby $12,21,30$ . Dla sumy cyfr $7$ otrzymujemy $16,25,34,43,52,61,70$ .

Odpowiedź

a) $\{1,2,\ldots,18\}$ .
b) $f(x)=3$ dla $x\in\{12,21,30\}$ , a $f(x)=7$ dla $x\in\{16,25,34,43,52,61,70\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

Zadanie sprawdza, czy potrafisz określić możliwe sumy cyfr liczb trzycyfrowych i znaleźć wszystkie argumenty, dla których suma cyfr wynosi 2 albo 3.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najmniejsza suma cyfr liczby trzycyfrowej to $1$ (dla $100$ ), a największa to $27$ (dla $999$ ). Wszystkie wartości całkowite pośrednie są osiągalne, zatem zbiorem wartości jest $\{1,2,\ldots,27\}$ .

Sumę cyfr $2$ mają liczby $101,110,200$ . Sumę cyfr $3$ mają liczby $102,111,120,201,210,300$ .

Odpowiedź

a) $\{1,2,\ldots,27\}$ .
b) $f(x)=2$ dla $x\in\{101,110,200\}$ , a $f(x)=3$ dla $x\in\{102,111,120,201,210,300\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

Celem jest to, by dla funkcji mnożącej cyfry liczby trzycyfrowej policzyć argumenty dające iloczyn zero oraz argumenty dające wartość 8.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Iloczyn cyfr jest równy $0$ , gdy cyfra dziesiątek lub jedności jest zerem. Spośród $900$ liczb trzycyfrowych dokładnie $9\cdot9\cdot9=729$ nie ma zera w zapisie. Liczba miejsc zerowych to

900-729=171.

b) Dodatnie cyfry o iloczynie $8$ tworzą, z uwzględnieniem kolejności, trójki:

permutacje $(8,1,1)$ — $3$ możliwości,
permutacje $(4,2,1)$ — $6$ możliwości,
trójka $(2,2,2)$ — $1$ możliwość.

Łącznie jest $3+6+1=10$ argumentów.

Odpowiedź

a) $171$ miejsc zerowych.
b) Dla $10$ argumentów.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem