NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 161
rozdział 3. Uklady rownan · temat „Przed obowiązkową maturą z matematyki” · 7 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 14
Trzeba tu zauważyć równoważność obu równań i spośród ośmiu par wskazać dwie leżące na wspólnej prostej rozwiązań.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Po pomnożeniu pierwszego równania przez (6) otrzymujemy (3x+y=6), czyli dokładnie drugie równanie. Sprawdzamy więc tylko tę zależność. Dla B: [ 3\cdot\frac52-\frac32=6. ] Dla H: [ 3\left(-\frac89\right)+8\frac23=-\frac83+\frac{26}{3}=6. ] Pozostałe pary nie spełniają równania.
Poprawne odpowiedzi: B i H.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 15
Zadanie sprawdza, czy potrafisz podstawić parę x=2, y=3 do czterech równań i wybrać dokładnie dwa, które tworzą spełniany przez nią układ.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Podstawiamy (x=2,\ y=3): [ \text{I}: 2-2\cdot3=-4, ] [ \text{II}: 2\cdot2+3\cdot3=13\ne15, ] [ \text{III}: 2\cdot2-3\cdot3=-5, ] [ \text{IV}: 3\cdot2-3=3\ne2. ] Spełnione są równania I i III.
Należy wybrać równania I i III.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 16
Celem jest to, by z łącznej kwoty wypłaty i relacji między liczbami nominałów wyznaczyć liczbę banknotów 10-, 20- i 50-złotowych.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (x) oznacza liczbę banknotów 10-złotowych i zarazem 50-złotowych. Banknotów 20-złotowych jest (x+7). Z wartości wypłaty: [ 10x+20(x+7)+50x=940. ] Stąd (80x+140=940), więc (x=10). Banknotów 20-złotowych było (17).
Było (10) banknotów 10-złotowych, (17) banknotów 20-złotowych i (10) banknotów 50-złotowych.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 17
Ćwiczymy tutaj, jak z sumy kątów trójkąta oraz dwóch zależności między alfa, beta i gamma ułożyć układ i obliczyć wszystkie trzy miary.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Przyjmujemy (\alpha>\beta). Z treści: [ \alpha-\beta=30^\circ,\qquad \gamma=\alpha+\beta+20^\circ. ] Suma kątów trójkąta daje [ \alpha+\beta+\gamma=180^\circ, ] czyli (2(\alpha+\beta)+20^\circ=180^\circ), zatem (\alpha+\beta=80^\circ). Rozwiązując układ z różnicą, dostajemy [ \alpha=55^\circ,\qquad \beta=25^\circ,\qquad \gamma=100^\circ. ]
(\alpha=55^\circ,\ \beta=25^\circ,\ \gamma=100^\circ).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 18
W tym zadaniu należy z dwóch warunków wiekowych obliczyć obecny wiek Kasi i braci bliźniaków, a następnie ustalić wiek Kasi w późniejszym momencie.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech obecnie Kasia ma (k) lat, a każdy z braci (b) lat. Cztery lata temu: [ (k-4)+2(b-4)=22, ] czyli (k+2b=34). Za dwa lata: [ k+2=2(b+2), ] więc (k=2b+2). Stąd (4b+2=34), zatem (b=8), a (k=18). Bracia osiągną wiek (18) lat za (10) lat; Kasia będzie wtedy miała (18+10=28) lat.
Gdy bracia będą mieli po (18) lat, Kasia będzie miała (28) lat.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 19
Zadanie polega na tym, by z liczby monet, ich łącznej wartości i relacji liczebności wyznaczyć osobno liczby monet czterech nominałów poza trzema monetami 5-złotowymi.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (x) oznacza liczbę monet 10-groszowych i 50-groszowych, a (y) — liczbę monet 2-złotowych. Monet 1-złotowych jest (2y). Po uwzględnieniu trzech monet 5-złotowych: [ 3+2x+3y=31, ] [ 15+0{,}10x+0{,}50x+2y+2y=42. ] Po uproszczeniu: [ 2x+3y=28,\qquad 3x+20y=135. ] Stąd (y=6), (x=5), a monet 1-złotowych jest (12).
Jest po (5) monet 10- i 50-groszowych, (12) monet 1-złotowych, (6) monet 2-złotowych oraz podane w treści (3) monety 5-złotowe.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 20
Warto tutaj rozwinąć kwadraty i iloczyny w dwóch równaniach, sprowadzić układ do postaci liniowej oraz wyznaczyć x i y.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Pierwsze równanie upraszczamy: [ 4(x+y)^2-4y(2x+y)=4x^2, ] więc po porównaniu z prawą stroną otrzymujemy (x+y=0).
Po rozwinięciu drugiego równania: [ xy+x-y-1=xy-2x+2y-4, ] czyli (x-y=-1). Rozwiązujemy układ [ \begin{cases}x+y=0\x-y=-1,\end{cases} ] stąd (x=-\frac12,\ y=\frac12).
((x,y)=\left(-\frac12,\frac12\right)).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem