NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 162
rozdział 3. Uklady rownan · temat „Przed maturą z matematyki na poziomie rozszerzonym” · 7 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
Sprawdzamy tutaj, jak porównać drogi rowerzystów jadących przez różny czas i z różnymi prędkościami, a z chwili dogonienia obliczyć obie prędkości.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (v) oznacza prędkość pierwszego rowerzysty. Do godziny 14.00 jechał on (4) godziny, a drugi rowerzysta — (3) godziny z prędkością (v+5). Przy dogonieniu przebyte drogi są równe: [ 4v=3(v+5). ] Stąd (v=15) km/h, a prędkość drugiego rowerzysty wynosi (20) km/h.
Pierwszy rowerzysta jechał (15) km/h, a drugi (20) km/h.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
Tym razem trzeba uprościć dwa równania zawierające kwadraty do układu liniowego i wyznaczyć jego ułamkowe rozwiązanie x, y.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Po rozwinięciu pierwszego równania: [ y-2x^2-x=-2x^2+4x+1, ] zatem (y=5x+1). Drugie równanie upraszcza się do [ y+2x=4. ] Po podstawieniu (y=5x+1) mamy (7x=3), więc [ x=\frac37,\qquad y=5\cdot\frac37+1=\frac{22}{7}. ]
((x,y)=\left(\frac37,\frac{22}{7}\right)).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
Ten przykład pokazuje, jak rozwiązać układ liniowy ze współczynnikami zawierającymi pierwiastek z 2, a następnie obliczyć sumę otrzymanych liczb x i y.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Z drugiego równania (x=2+\sqrt2y). Podstawiamy do pierwszego: [ \sqrt2(2+\sqrt2y)+y=4\sqrt2, ] czyli (3y=2\sqrt2). Stąd [ y=\frac{2\sqrt2}{3},\qquad x=2+\sqrt2\cdot\frac{2\sqrt2}{3}=\frac{10}{3}. ] Suma wynosi [ x+y=\frac{10+2\sqrt2}{3}. ]
(x+y=\frac{10+2\sqrt2}{3}).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
Twoim celem jest to, by z czasów i dystansów kajakarza płynącego w obu kierunkach ułożyć układ dla prędkości własnej i prądu oraz wyznaczyć tę drugą.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (v) oznacza prędkość kajaka względem wody, a (u) — prędkość prądu. Prędkości z prądem i pod prąd to (v+u) i (v-u). Z danych: [ 3(v+u)+3(v-u)=24, ] [ 2(v+u)+4(v-u)=21. ] Pierwsze równanie daje (6v=24), więc (v=4). Drugie ma wtedy postać (24-2u=21), zatem (u=1{,}5) km/h.
Prędkość prądu rzeki wynosi (1{,}5) km/h.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
Skupiamy się na tym, jak rozwiązać układ wyznaczający współrzędne punktu P, a następnie sprawdzić nierówności potwierdzające jego położenie w podanym prostokącie.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Pierwsze równanie upraszczamy: [ x^2-4x+4+y^2-x^2=y^2-y, ] stąd (y=4x-4). Drugie równanie po pomnożeniu przez (2) ma postać [ 2x+2y-x+y=x+2y+4, ] więc (y=4). Wtedy (4=4x-4), zatem (x=2).
Punkt (P=(2,4)) spełnia [ 1\le2\le3,\qquad 1\le4\le6. ] Należy więc do prostokąta (ABCD), łącznie z jego wnętrzem i brzegiem.
Układ wyznacza punkt (P=(2,4)), który należy do prostokąta (ABCD).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 6.1
Należy tutaj podstawić wskazaną wartość parametru do układu, rozwiązać go i wykazać, że otrzymane współrzędne są liczbami przeciwnymi.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dla (m=-\frac72) układ ma postać [ \begin{cases} 2x-y=-6,\ 3x-2y=-10. \end{cases} ] Z pierwszego równania (y=2x+6). Po podstawieniu do drugiego: [ 3x-2(2x+6)=-10, ] więc (x=-2), a (y=2). Są to liczby przeciwne.
Dla (m=-\frac72) rozwiązaniem jest ((x,y)=(-2,2)), czyli para liczb przeciwnych.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 6.2
To ćwiczenie sprawdza, czy potrafisz wyrazić x i y przez parametr m, nałożyć warunek ujemności obu liczb i znaleźć największą całkowitą wartość spełniającą nierówności.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Rozwiązujemy układ dla ogólnego (m). Eliminacja (y) daje [ -x=-2m-5, ] więc (x=2m+5). Z pierwszego równania [ y=2x-(2m+1)=2m+9. ] Obie liczby są ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy [ 2m+5<0\quad\text{oraz}\quad2m+9<0. ] Warunki dają (m<-\frac52) oraz (m<-\frac92), zatem łącznie (m<-\frac92). Największą liczbą całkowitą spełniającą ten warunek jest (-5). Dla (m=-5) otrzymujemy ((x,y)=(-5,-1)).
Największą całkowitą wartością parametru jest (m=-5).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu