NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 159
rozdział 3. Uklady rownan · temat „Przed obowiązkową maturą z matematyki” · 5 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 6
Spróbujmy tutaj dobrać do równania prostej drugie równanie opisujące dokładnie tę samą prostą i w ten sposób utworzyć układ nieoznaczony.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Układ jest nieoznaczony, gdy drugie równanie jest równoważne pierwszemu. Pomnożenie [ 3x-4y=6 ] przez (-\frac12) daje [ -\frac32x+2y=-3, ] czyli równanie z odpowiedzi D.
Poprawna odpowiedź: D.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 7
Podczas tego ćwiczenia trzeba rozwiązać układ dwóch równań liniowych i dopasować otrzymaną parę x, y do jednej z czterech odpowiedzi.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Mnożymy drugie równanie przez (-5) i dodajemy stronami: [ \begin{aligned} 5x-2y&=27,\ -5x-15y&=-10. \end{aligned} ] Stąd (-17y=17), więc (y=-1). Z równania (x+3y=2) otrzymujemy (x=5).
Poprawna odpowiedź: C, czyli ((x,y)=(5,-1)).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 8
Analizujemy tutaj, jak dla każdej proponowanej wartości parametru rozwiązać układ lub zbadać znaki wyniku i wskazać wariant z dwiema liczbami ujemnymi.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dodając równania stronami, dostajemy [ (m+2)x=m-5. ] Dla wartości z odpowiedzi można obliczyć również (y=-4-2x). Tylko dla (m=\frac32): [ x=\frac{\frac32-5}{\frac32+2}=-1,\qquad y=-4-2(-1)=-2, ] więc obie liczby są ujemne.
Poprawna odpowiedź: D, czyli (m=\frac32).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 9
Rozważamy tutaj, jak wykorzystać zależności kątów przy prostych równoległych, ułożyć równania dla alfa i beta oraz wybrać właściwe miary.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Z rysunku odczytujemy, że (\alpha) i (\beta+30^\circ) są kątami odpowiadającymi przy prostych równoległych: [ \alpha=\beta+30^\circ. ] Kąty (\beta+30^\circ) oraz (3\alpha-20^\circ) są przyległe, więc [ (\beta+30^\circ)+(3\alpha-20^\circ)=180^\circ. ] Po użyciu (\beta=\alpha-30^\circ): [ \alpha+3\alpha-20^\circ=180^\circ, ] stąd (\alpha=50^\circ) i (\beta=20^\circ).
Poprawna odpowiedź: B: (\alpha=50^\circ,\ \beta=20^\circ).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 10
Zadanie pokazuje, jak odtworzyć cyfry liczby dwucyfrowej z ich sumy i efektu zamiany miejsc, a następnie ocenić dwa stwierdzenia o tej liczbie.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (a) będzie cyfrą dziesiątek, a (b) cyfrą jedności liczby (M). Wtedy [ a+b=8,\qquad (10b+a)-(10a+b)=54. ] Drugie równanie daje (b-a=6). Stąd (a=1,\ b=7), więc (M=17), a liczba z przestawionymi cyframi to (71). Różnica cyfr wynosi (6), a suma liczb (17+71=88).
Oba stwierdzenia są prawdziwe: PP.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem