NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 158
rozdział 3. Uklady rownan · temat „Przed obowiązkową maturą z matematyki” · 5 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
Pracujemy tutaj nad tym, jak przełożyć zależność wieku Kuby i Magdy na dwa równania oraz wybrać układ poprawnie opisujący oba warunki.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Kuba jest starszy o (5) lat, więc (k=m+5). Wiek Magdy stanowi (\frac23) wieku Kuby, zatem (m=\frac23k). Takie dwa równania zawiera odpowiedź C.
Poprawna odpowiedź: C.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
W ramach ćwiczenia trzeba przekształcić układ opisujący kąty trójkąta równoramiennego i rozpoznać wśród propozycji układ o identycznym zbiorze rozwiązań.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Z równania (\alpha=\beta+18^\circ) mamy (\beta=\alpha-18^\circ). Po podstawieniu: [ 2\alpha+\alpha-18^\circ=180^\circ, ] więc (3\alpha=198^\circ), (\alpha=66^\circ), a (\beta=48^\circ). Jest to równoważne układowi [ 2\alpha=132^\circ,\qquad 3\beta=144^\circ, ] czyli odpowiedzi D.
Poprawna odpowiedź: D.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
Najważniejsze jest, aby przez podstawienie czterech par liczb do równań wskazać jedyną parę, która nie spełnia podanego układu.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Pierwsze równanie jest drugim pomnożonym przez (-2), wystarczy więc sprawdzić (2x-y=3): [ \text{A}: -6+9=3,\quad \text{B}: -1+4=3,\quad \text{C}: 3-0=3. ] Dla odpowiedzi D otrzymujemy (2\cdot3-(-3)=9\ne3), więc ta para nie spełnia układu.
Poprawna odpowiedź: D.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
Uczymy się tutaj, jak porównać proporcjonalne lewe strony dwóch równań i wybrać wartość parametru m, dla której układ nie jest sprzeczny.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Lewa strona drugiego równania jest równa (-2) razy lewej stronie pierwszego. Aby równania nie były sprzeczne, również prawa strona musi być pomnożona przez (-2): [ m=-2\cdot6=-12. ] Wtedy układ jest nieoznaczony.
Poprawna odpowiedź: D, czyli (m=-12).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
Znajdujemy wartość parametru m zapewniającą pełną proporcjonalność obu równań, a więc nieskończenie wiele rozwiązań układu.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Aby układ był nieoznaczony, drugie równanie musi być dwukrotnością pierwszego, ponieważ (-6=2\cdot(-3)). Dla współczynnika przy (x): [ 4=2\cdot2m^2 \quad\Longrightarrow\quad m^2=1. ] Prawe strony muszą spełniać [ -10m=2\cdot5=10, ] zatem (m=-1).
Poprawna odpowiedź: B, czyli (m=-1).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem