NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 156

Niech (x) oznacza liczbę jabłek, a (y) — bananów kupionych przez Krysię. Po podzieleniu cen przez (0{,}6) otrzymujemy [ \begin{cases} 2x+3y=12,\ 3x+2y=13. \end{cases} ] Odejmując równania, mamy (x-y=1). Po podstawieniu (x=y+1) do pierwszego równania: [ 2(y+1)+3y=12, ] więc (y=2), a (x=3).

Niech początkowo w skrzynkach będzie (x) i (y) jabłek. Mamy [ x+y=60. ] Po przełożeniu połowy zawartości drugiej skrzynki zostaje w niej (\frac y2), a w pierwszej jest (x+\frac y2). Warunek daje [ x+\frac y2=4\cdot\frac y2=2y, ] czyli (x=\frac32y). Stąd (\frac52y=60), więc (y=24), (x=36).

Niech (x) będzie liczbą większych pudełek, a (y) — mniejszych: [ \begin{cases} x+y=20,\ 1{,}6x+1{,}2y=30. \end{cases} ] Po odjęciu (1{,}2(x+y)=24) dostajemy (0{,}4x=6), zatem (x=15,\ y=5). Masa dostawy wynosi [ 15\cdot5{,}2+5\cdot3{,}2=78+16=94\ \text{kg}. ] Nie przekracza ona ładowności (100) kg.

Niech (x) oznacza liczbę kartek jednostronnych, a (y) — dwustronnych. W złotych: [ \begin{cases} x+y=30,\ 0{,}20x+0{,}30y=7{,}40. \end{cases} ] Od drugiego równania odejmujemy (0{,}20(x+y)=6), stąd (0{,}10y=1{,}40), więc (y=14,\ x=16). Zapisanych stron jest [ x+2y=16+28=44. ] Przy cenie (0{,}20) zł za każdą osobną kartkę koszt wyniósłby (44\cdot0{,}20=8{,}80) zł.

Niech (t) oznacza czas jazdy busa od godziny 15.00 do spotkania. Autokar jedzie wtedy (t-1) godzin. Suma przebytych dróg jest równa (320) km: [ 60t+70(t-1)=320. ] Stąd (130t=390), więc (t=3). Spotkanie nastąpiło o 18.00, a bus przejechał od Opola [ 60\cdot3=180\ \text{km}. ]

Pole kwadratu wynosi (324\ \mathrm{dm}^2), więc jego bok ma długość (18) dm. Niech (a) i (b) oznaczają odpowiednio dłuższy i krótszy bok płytki.

Ze skanu układu płytek odczytujemy, że górny bok kwadratu składa się z czterech odcinków długości (a) i trzech długości (b): [ 4a+3b=18. ] Wyrównane krawędzie płytek pokazują też, że dwa dłuższe boki mają łącznie długość trzech krótszych: [ 2a=3b. ] Zatem (a=\frac32b), więc (6b+3b=18). Otrzymujemy (b=2) dm i (a=3) dm. Obwód płytki to [ 2(a+b)=2(3+2)=10\ \text{dm}. ]

Niech pierwszy odcinek ma długość (x) km, a drugi (x+60) km. Średnia prędkość to całkowita droga podzielona przez całkowity czas: [ \frac{2x+60}{\frac{x}{70}+\frac{x+60}{90}}=80. ] Po pomnożeniu przez mianownik i przez (63): [ 126x+3780=128x+3360, ] więc (x=210) km. Drugi odcinek ma (270) km, a cała trasa (480) km.