NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 155
rozdział 3. Uklady rownan · temat „Powtórzenie” · 6 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
Zadanie sprawdza, czy potrafisz dla wartości parametru 1 i -2 osobno ustalić liczbę rozwiązań każdego z trzech układów liniowych.
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
a) Wyznacznik układu to (m^2-4). Dla (m=1) jest niezerowy, więc układ ma jedno rozwiązanie. Dla (m=-2) otrzymujemy równania (2x+2y=1) i (-2x-2y=1), zatem układ jest sprzeczny.
b) Wyznacznik wynosi (1-m^2). Dla (m=1) oba równania mają postać (x+y=2), więc rozwiązań jest nieskończenie wiele. Dla (m=-2) wyznacznik jest niezerowy, więc istnieje jedno rozwiązanie.
c) Wyznacznik wynosi (2-|m|). Dla (m=1) jest niezerowy, więc istnieje jedno rozwiązanie. Dla (m=-2) równania (x-2y=4) i (-x+2y=-4) są równoważne, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele.
a) (m=1): jedno; (m=-2): zero rozwiązań. b) (m=1): nieskończenie wiele; (m=-2): jedno. c) (m=1): jedno; (m=-2): nieskończenie wiele rozwiązań.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
Celem jest to, by podstawić parę x=3, y=2 do dwóch układów i wyznaczyć takie wartości parametrów m i k, które czynią ją rozwiązaniem.
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Podstawiamy (x=3,\ y=2).
a) Otrzymujemy [ \begin{cases}3m+2k=5\-4m+3k=2.\end{cases} ] Rozwiązaniem jest (m=\frac{11}{17}), (k=\frac{26}{17}).
b) Po uproszczeniu: [ \begin{cases}-3m+8k=7\m-14k=-8.\end{cases} ] Stąd (m=-1), (k=\frac12).
a) (m=\frac{11}{17},\ k=\frac{26}{17}); b) (m=-1,\ k=\frac12).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
Ćwiczymy tutaj, jak rozwinąć pozornie nieliniowe równania z kwadratami i iloczynami, sprowadzić sześć układów do postaci liniowej i je rozwiązać.
6 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Po rozwinięciu kwadratów układy stają się liniowe.
a) Drugie równanie daje (2x=3), a pierwsze (6x-y=3). Zatem ((x,y)=(\frac32,6)).
b) Otrzymujemy (x=4y+4) oraz (y=4x-1), skąd ((x,y)=(0,-1)).
c) Otrzymujemy (y=1-6x) oraz (2x+4y=1), więc ((x,y)=(\frac3{22},\frac2{11})).
d) Mamy (y=2x-6) oraz (y=2-6x), więc ((x,y)=(1,-4)).
e) Pierwsze równanie daje (2y-1=0), a drugie (2x+2y=0). Stąd ((x,y)=(-\frac12,\frac12)).
f) Pierwsze równanie daje (y=-32x), a drugie (x=2y). Zatem ((x,y)=(0,0)).
a) ((\frac32,6)); b) ((0,-1)); c) ((\frac3{22},\frac2{11})); d) ((1,-4)); e) ((-\frac12,\frac12)); f) ((0,0)).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
W tym zadaniu należy rozwiązać dwa układy w zależności od parametru m i wyznaczyć jego wartości dające jednocześnie ujemne x oraz y.
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
a) Rozwiązanie układu ma postać [ x=5-3m,\qquad y=4-2m. ] Warunki (x<0) i (y<0) dają odpowiednio (m>\frac53) i (m>2). Łącznie (m>2).
b) Po rozwiązaniu: [ x=3-m,\qquad y=\frac43(3-m). ] Obie liczby są ujemne dokładnie wtedy, gdy (m>3).
a) (m>2); b) (m>3).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
Zadanie polega na tym, by wyrazić rozwiązania dwóch układów przez parametr m i znaleźć zakresy, w których x i y mają przeciwne znaki.
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
a) Rozwiązanie układu to [ x=m-1,\qquad y=m-2. ] Liczby mają przeciwne znaki, gdy ((m-1)(m-2)<0), czyli (m\in(1;2)).
b) Rozwiązanie ma postać [ x=\frac{m-5}{9},\qquad y=\frac{4m-11}{3}. ] Warunek przeciwnych znaków jest równoważny ((m-5)(4m-11)<0), więc [ m\in\left(\frac{11}{4};5\right). ]
a) (m\in(1;2)); b) (m\in(\frac{11}{4};5)).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
Warto tutaj dla każdej z trzech wskazanych wartości parametru m sklasyfikować liczbę rozwiązań w trzech różnych układach.
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Badamy wyznacznik i przypadek, w którym jest równy zero, dla (m\in{-1,1,2}).
a) (W=-6(m+1)). Dla (m=-1) równania są równoważne — nieskończenie wiele rozwiązań. Dla (m=1,2) jest jedno rozwiązanie.
b) (W=6(2-m)). Dla (m=2) lewe strony są proporcjonalne, ale prawe nie — brak rozwiązań. Dla (m=-1,1) jest jedno rozwiązanie.
c) (W=1-m). Dla (m=1) otrzymujemy sprzeczne równania (x+2y=2) oraz (x+2y=1). Dla (m=-1,2) jest jedno rozwiązanie.
a) (m=-1): nieskończenie wiele; (m=1,2): jedno. b) (m=2): zero; (m=-1,1): jedno. c) (m=1): zero; (m=-1,2): jedno rozwiązanie.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem