NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 154
rozdział 3. Uklady rownan · temat „Powtórzenie” · 5 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
Rozwiązujemy cztery układy równań zawierające ułamki i wyrażenia w licznikach, najpierw usuwając mianowniki.
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Po usunięciu mianowników otrzymujemy:
a) (\begin{cases}2x+3y=24\x-2y=-2\end{cases}), więc (x=6,\ y=4).
b) Oba równania redukują się do (4x-10y=19). Układ jest nieoznaczony: [ x\in\mathbb R,\qquad y=0{,}4x-1{,}9. ]
c) (\begin{cases}9x-8y=1\2x+9y=11\end{cases}), skąd (x=1,\ y=1).
d) (\begin{cases}2x+9y=-24\-8x+9y=6\end{cases}), skąd (x=-3,\ y=-2).
a) ((6,4)); b) nieskończenie wiele rozwiązań: (x\in\mathbb R,\ y=0{,}4x-1{,}9); c) ((1,1)); d) ((-3,-2)).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
Tutaj należy rozwiązać cztery układy liniowe, a następnie w każdym przypadku ocenić, czy współrzędne rozwiązania mają przeciwne znaki.
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Rozwiązujemy kolejne układy i porównujemy znaki współrzędnych:
a) ((x,y)=(1,1)) — oba znaki dodatnie, więc nie.
b) ((x,y)=\left(\frac{26}{9},-\frac13\right)) — znaki różne, więc tak.
c) ((x,y)=\left(-\frac{11}{10},-\frac7{10}\right)) — oba znaki ujemne, więc nie.
d) ((x,y)=(0,1)) — zero nie ma znaku dodatniego ani ujemnego, więc nie.
a) nie; b) tak; c) nie; d) nie.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
Celem ćwiczenia jest to, by po uproszczeniu równań rozstrzygnąć dla czterech układów, czy mają jedno rozwiązanie, brak rozwiązań czy nieskończenie wiele.
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
a) Oba równania sprowadzają się do (3x+2y=11), zatem rozwiązań jest nieskończenie wiele.
b) Pierwsze równanie daje (x=-\frac56), a drugie wtedy (y=-6). Jest jedno rozwiązanie.
c) Równania redukują się do (-2x+y=-2) oraz (-2x+y=2), więc układ jest sprzeczny i ma (0) rozwiązań.
d) Oba równania sprowadzają się do (3x-4y=2), więc rozwiązań jest nieskończenie wiele.
a) nieskończenie wiele; b) jedno; c) zero; d) nieskończenie wiele rozwiązań.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
W tym przykładzie trzeba za pomocą układów równań odtworzyć liczbę dwucyfrową z warunków o jej cyfrach oraz ułamek z dwóch zmian licznika i mianownika.
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
a) Niech (a) będzie cyfrą dziesiątek, a (b) cyfrą jedności. Wtedy [ a+b=13,\qquad (10b+a)-(10a+b)=45. ] Drugie równanie daje (b-a=5). Stąd (a=4,\ b=9), więc liczba to (49).
b) Niech (x) i (y) będą licznikiem i mianownikiem. Z warunków: [ \frac{x+1}{y-1}=\frac12,\qquad \frac{x-1}{y+1}=\frac13. ] Po przekształceniu: [ 2x-y=-3,\qquad 3x-y=4. ] Zatem (x=7,\ y=17).
a) (49); b) (\frac7{17}).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
Trzeba tu w dwóch doświadczeniach obliczyć masy roztworów o różnych stężeniach potrzebne do otrzymania mieszanin o zadanej masie i zawartości substancji.
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
a) Niech (x) kg oznacza roztwór (5%), a (y) kg — roztwór (40%): [ x+y=1{,}4,\qquad 0{,}05x+0{,}40y=0{,}30\cdot1{,}4. ] Stąd (y=1) kg, (x=0{,}4) kg, czyli odpowiednio (1000) g i (400) g.
b) Niech (x) g oznacza roztwór (6%), a (y) g — roztwór (10%): [ x+y=10,\qquad 0{,}06x+0{,}10y=0{,}09\cdot10. ] Otrzymujemy (y=7{,}5) g i (x=2{,}5) g.
a) (400) g roztworu (5%) i (1000) g roztworu (40%). b) (2{,}5) g roztworu (6%) i (7{,}5) g roztworu (10%).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem