NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 153
rozdział 3. Uklady rownan · temat „Metoda eliminacji Gaussa” · 1 zadanie z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
Rozważamy tutaj, jak metodą eliminacji Gaussa rozwiązać cztery układy trzech równań z trzema niewiadomymi i sprawdzić otrzymane trójki.
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Stosujemy operacje elementarne na równaniach.
a) Po wykonaniu (R_2\leftarrow R_2-R_1) oraz (R_3\leftarrow R_3+2R_1): [ \begin{cases} x-3y+z=4,\ -y+3z=-5,\ -5y-3z=11. \end{cases} ] Stąd (z=-2), (y=-1), (x=3).
b) Operacje (R_2\leftarrow R_2-R_1), (R_3\leftarrow R_3+R_1) dają [ y+4z=6,\qquad 6y-7z=5. ] Zatem (z=1), (y=2), (x=-5).
c) Po (R_2\leftarrow R_2-2R_1), (R_3\leftarrow R_3-2R_1): [ y+5z=17,\qquad 6y+7z=10. ] Otrzymujemy (z=4), (y=-3), (x=5).
d) Po (R_2\leftarrow R_2-R_1), (R_3\leftarrow R_3-3R_1): [ -y+2z=9,\qquad -7y-8z=-25. ] Stąd (z=4), (y=-1), (x=0).
Podstawienie każdej trójki do trzech odpowiednich równań odtwarza ich prawe strony.
a) ((x,y,z)=(3,-1,-2)); b) ((-5,2,1)); c) ((5,-3,4)); d) ((0,-1,4)).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem