NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 151
rozdział 3. Uklady rownan · temat „Rozwiązywanie układów równań metodą wyznacznikową” · 2 zadania z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
Podczas tego ćwiczenia trzeba za pomocą wyznacznika głównego sklasyfikować sześć układów liniowych, a układy oznaczone rozwiązać wzorami Cramera.
6 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dla układu (\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}) liczymy (W=a_1b_2-a_2b_1).
a) (W=5), (W_x=-25), (W_y=15), więc ((x,y)=(-5,3)).
b) (W=-29), (W_x=-116), (W_y=29), więc ((x,y)=(4,-1)).
c) (W=0), a drugie równanie jest pierwszym pomnożonym przez (-\frac14). Układ jest nieoznaczony.
d) (W=41), (W_x=-82), (W_y=123), więc ((x,y)=(-2,3)).
e) (W=0). Po pomnożeniu drugiego równania przez (3) otrzymujemy tę samą lewą stronę co w pierwszym, ale prawą stronę (-12) zamiast (12). Układ jest sprzeczny.
f) (W=-1), (W_x=-4), (W_y=-8), więc ((x,y)=(4,8)).
a) ((-5,3)); b) ((4,-1)); c) układ nieoznaczony; d) ((-2,3)); e) układ sprzeczny; f) ((4,8)).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
Analizujemy tutaj, jak dla sześciu układów z parametrem k określić, kiedy mają jedno, nieskończenie wiele albo zero rozwiązań.
6 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
a) (W=10-2k). Dla (k\ne5) układ jest oznaczony. Dla (k=5) drugie równanie jest pierwszym pomnożonym przez (-5), więc układ jest nieoznaczony.
b) (W=8-4k). Dla (k\ne2) układ jest oznaczony. Dla (k=2) lewe strony są proporcjonalne, lecz prawe nie, więc układ jest sprzeczny.
c) (W=1-k^2). Dla (k\notin{-1,1}) układ jest oznaczony. Dla (k=-1) równania są równoważne, a dla (k=1) sprzeczne.
d) (W=4-2k^2). Dla (k\notin{-\sqrt2,\sqrt2}) układ jest oznaczony. Dla obu wartości zerujących (W) współczynniki są proporcjonalne, ale wyrazy wolne nie, więc układ jest sprzeczny.
e) (W=k^2-4). Dla (k\notin{-2,2}) układ jest oznaczony. Dla (k=\pm2) równania są równoważne, więc układ jest nieoznaczony.
f) (W=k^2). Dla (k\ne0) układ jest oznaczony. Dla (k=0) równania wymagają jednocześnie (x=2) i (x=4), więc układ jest sprzeczny.
a) oznaczony dla (k\ne5), nieoznaczony dla (k=5). b) oznaczony dla (k\ne2), sprzeczny dla (k=2). c) oznaczony dla (k\ne\pm1), nieoznaczony dla (k=-1), sprzeczny dla (k=1). d) oznaczony dla (k\ne\pm\sqrt2), sprzeczny dla (k=\pm\sqrt2). e) oznaczony dla (k\ne\pm2), nieoznaczony dla (k=\pm2). f) oznaczony dla (k\ne0), sprzeczny dla (k=0).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem