NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 149
rozdział 3. Uklady rownan · temat „Łódź płynąca z prądem i pod prąd” · 5 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 7
W ramach ćwiczenia trzeba z całkowitego czasu, dystansu i dwóch prędkości wyznaczyć czas jazdy rowerzysty po asfalcie oraz przebytą tam odległość.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (t_a) i (t_g) oznaczają czas jazdy po drogach asfaltowych i gruntowych. Wtedy [ \begin{cases} t_a+t_g=5,\ 20t_a+15t_g=90. \end{cases} ] Po odjęciu (15(t_a+t_g)=75) od drugiego równania otrzymujemy (5t_a=15), więc (t_a=3) h. Na asfalcie Roman przejechał (20\cdot3=60) km.
Roman jechał po drogach asfaltowych (3) godziny i pokonał (60) km.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 8
Najważniejsze jest, aby porównać dwa warianty spotkania pociągów jadących naprzeciw siebie i z zależności czas–prędkość obliczyć odległość miast.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (v) będzie prędkością wolniejszego pociągu; szybszy jedzie z prędkością (2v). Pierwszy czas spotkania to (\frac43) h, więc odległość między miastami wynosi [ (v+2v)\frac43=4v. ] Po zwiększeniu prędkości wolniejszego pociągu o (10) km/h czas wynosi (\frac65) h: [ (3v+10)\frac65=4v. ] Stąd (18v+60=20v), czyli (v=30) km/h, a odległość jest równa (4v=120) km.
Odległość między miastami (A) i (B) wynosi (120) km.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 9
Uczymy się tutaj, jak podzielić trasę pociągu na odcinki pokonywane z dwiema prędkościami i z łącznego czasu wyznaczyć długość wolniejszej części.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (y) oznacza długość drugiego odcinka, a (x) — pierwszego. Czas (1) h (45) min to (\frac74) h, zatem [ \begin{cases} x+y=120,\ \frac{x}{80}+\frac{y}{40}=\frac74. \end{cases} ] Po pomnożeniu drugiego równania przez (80) mamy (x+2y=140). Odejmując (x+y=120), otrzymujemy (y=20) km.
Drugi odcinek miał długość (20) km.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 10
Sedno zadania polega na tym, by dokończyć układ trzech równań i obliczyć liczby biletów normalnych, ulgowych oraz wejściówek z danych o liczbie i utargu.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Z drugiego równania podanego układu (x=y+z+40). Po podstawieniu do równania liczby biletów: [ 2(y+z)+40=500, ] więc (y+z=230) i (x=270). Równanie wpływów przyjmuje postać [ 50\cdot270+40y+30z=22300, ] czyli (4y+3z=880). Odejmując (3(y+z)=690), dostajemy (y=190), a następnie (z=40).
Sprzedano (270) biletów normalnych, (190) ulgowych i (40) wejściówek.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 11
Spróbujmy tutaj z obwodów trzech różnych ścian prostopadłościanu ułożyć układ równań i wyznaczyć długości jego krawędzi.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (a,b,c) będą długościami krawędzi. Z obwodów trzech ścian: [ a+b=13,\qquad a+c=14,\qquad b+c=17. ] Po dodaniu równań otrzymujemy (2(a+b+c)=44), więc (a+b+c=22). Stąd [ a=22-17=5,\quad b=22-14=8,\quad c=22-13=9. ]
Krawędzie prostopadłościanu mają długości (5) cm, (8) cm i (9) cm.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem