NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 15

Oznaczmy brakujące pola kolejno wierszami. Z pierwszego wiersza otrzymujemy

$569+59+x=1077,$

więc $x=449$.

Z pierwszej kolumny:

$569+239+y=1077,$

stąd $y=269$. Na przekątnej przechodzącej przez pola $449$, środkowe i $269$ mamy

$449+z+269=1077,$

czyli $z=359$.

Teraz drugi wiersz daje $239+359+u=1077$, więc $u=479$. Główna przekątna daje $569+359+v=1077$, zatem $v=149$. Z ostatniego wiersza otrzymujemy $269+w+149=1077$, więc $w=659$.

Wszystkie otrzymane liczby są pierwsze. Uzupełniony kwadrat ma postać:

Każdy wiersz, każda kolumna i obie przekątne mają sumę $1077$.

Wypisujemy liczby od $2$ do $99$. Najpierw wykreślamy wielokrotności $2$ większe od $2$, następnie niewykreślone wielokrotności $3$ większe od $3$, potem wielokrotności $5$ i $7$. Pozostają liczby:

$$\begin{aligned} &2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,\\ &53,59,61,67,71,73,79,83,89,97. \end{aligned}$$

Uzasadnijmy, dlaczego można zakończyć na liczbie $7$. Gdyby pozostała liczba złożona $n<100$, miałaby rozkład $n=ab$, gdzie $1<a\le b$. Wtedy

$a\le\sqrt n<10.$

Liczba $a$ miałaby zatem dzielnik pierwszy mniejszy od $10$, czyli jeden z $2,3,5,7$. Wielokrotności wszystkich tych liczb zostały już wykreślone. Niewykreślona liczba nie może więc być złożona i musi być pierwsza.