NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 14

Zbiór liczb naturalnych zawiera $0$. Liczymy więc wielokrotności od $0$ do największej wielokrotności nieprzekraczającej $200$.

a) Wielokrotności $5$ mają postać $5k$, gdzie $k=0,1,\ldots,40$. Jest ich $41$.

b) Wielokrotności $8$ mają postać $8k$, gdzie $k=0,1,\ldots,25$. Jest ich $26$.

c) Największą rozpatrywaną wielokrotnością $9$ jest $198=9\cdot22$. Dla $k=0,1,\ldots,22$ otrzymujemy $23$ liczby.

d) Największą rozpatrywaną wielokrotnością $11$ jest $198=11\cdot18$. Dla $k=0,1,\ldots,18$ otrzymujemy $19$ liczb.

Dzielimy każdą liczbę przez $5$. Iloraz jest liczbą $k$, a reszta liczbą $r$.

a) $39=5\cdot7+4$.

b) $62=5\cdot12+2$.

c) $156=5\cdot31+1$.

d) $275=5\cdot55+0$.

Wyznaczamy resztę z dzielenia przez $6$ i sprawdzamy, czy należy ona do zbioru $\{1,2,3\}$.

a) $46=6\cdot7+4$. Reszta $4$ nie jest dozwolona, więc nie.

b) $74=6\cdot12+2$. Reszta $2$ jest dozwolona, więc tak: $k=12$, $r=2$.

c) $147=6\cdot24+3$. Reszta $3$ jest dozwolona, więc tak: $k=24$, $r=3$.

d) $276=6\cdot46$. Reszta $0$ nie jest dozwolona, więc nie.

Jeżeli pierwsza liczba nieparzysta jest równa $p$, to dwie następne są równe $p+2$ i $p+4$. Ich suma wynosi

$p+(p+2)+(p+4)=3p+6.$

a) Dla $p=2n+1$:

$3(2n+1)+6=6n+9.$

b) Dla $p=2n-1$:

$3(2n-1)+6=6n+3.$

c) Dla $p=2n-5$:

$3(2n-5)+6=6n-9.$

d) Dla $p=4n+3$:

$3(4n+3)+6=12n+15.$

a) Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych $n,n+1,n+2$ jedna jest podzielna przez $3$ i co najmniej jedna jest parzysta. Ich iloczyn zawiera więc czynniki $3$ i $2$, a zatem jest podzielny przez $6$.

b) Trzy kolejne liczby parzyste mają postać

$2n,\quad 2(n+1),\quad 2(n+2).$

Ich iloczyn jest równy

$8n(n+1)(n+2).$

Z podpunktu a) iloczyn $n(n+1)(n+2)$ jest podzielny przez $6$. Cały iloczyn jest więc podzielny przez $8\cdot6=48$.

c) Wśród czterech kolejnych liczb $n,n+1,n+2,n+3$ jedna jest podzielna przez $4$, a inna jest parzysta. Iloczyn jest zatem podzielny przez $8$. Wśród tych liczb jest również wielokrotność $3$. Ponieważ $8$ i $3$ są względnie pierwsze, iloczyn jest podzielny przez $8\cdot3=24$.

Dla liczb zapisanych jako iloczyny potęg liczb pierwszych wykładnik danego czynnika w NWW jest największym z dwóch wykładników, a w NWD — najmniejszym. W ilorazie pozostają więc potęgi o wykładnikach równych różnicom.

a)

$\frac{\operatorname{NWW}(x,y)}{\operatorname{NWD}(x,y)}=2^{3-2}\cdot3^{4-3}=2\cdot3=6.$

b)

$\frac{\operatorname{NWW}(x,y)}{\operatorname{NWD}(x,y)}=2^{2-1}\cdot3^{4-3}\cdot5^{2-0}=2\cdot3\cdot25=150.$

c)

$\frac{\operatorname{NWW}(x,y)}{\operatorname{NWD}(x,y)}=5^{2-1}\cdot7^{3-1}=5\cdot49=245.$

d)

$\frac{\operatorname{NWW}(x,y)}{\operatorname{NWD}(x,y)}=2^{1-0}\cdot5^{3-2}\cdot7^{1-0}=2\cdot5\cdot7=70.$

Stosujemy algorytm Euklidesa w równoważnej, skróconej postaci z resztami.

a)

$72=1\cdot48+24,\qquad 48=2\cdot24,$

więc $\operatorname{NWD}(48,72)=24$.

b)

$600=1\cdot360+240,\qquad 360=1\cdot240+120,\qquad 240=2\cdot120,$

więc $\operatorname{NWD}(360,600)=120$.

c)

$253=3\cdot69+46,\qquad 69=1\cdot46+23,\qquad 46=2\cdot23,$

więc $\operatorname{NWD}(253,69)=23$.