NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 148
rozdział 3. Uklady rownan · temat „Łódź płynąca z prądem i pod prąd” · 5 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
Twoim celem jest to, by z całkowitej liczby uczniów i hipotetycznych zmian procentowych wyznaczyć obecne liczby dziewcząt oraz chłopców.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (d) oznacza liczbę dziewcząt, a (c) — liczbę chłopców. Z warunków zadania: [ \begin{cases} d+c=500,\ 0{,}6d+1{,}6c=500. \end{cases} ] Od drugiego równania odejmujemy (0{,}6(d+c)=300). Otrzymujemy (c=200), a następnie (d=500-200=300).
W liceum uczy się (300) dziewcząt i (200) chłopców.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
Skupiamy się na tym, jak przełożyć dwie procentowe zależności między wakacyjnymi zarobkami Pawła i Bartka na układ i obliczyć obie kwoty.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (P) i (B) oznaczają zarobki Pawła i Bartka. Mamy [ \begin{cases} P=1{,}1B+280,\ B=0{,}6P+240. \end{cases} ] Po podstawieniu drugiego równania do pierwszego: [ P=1{,}1(0{,}6P+240)+280=0{,}66P+544. ] Stąd (0{,}34P=544), więc (P=1600) zł, a (B=0{,}6\cdot1600+240=1200) zł.
Paweł zarobił (1600) zł, a Bartek (1200) zł.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
Dokańczamy rozwiązanie układu opisującego podział 10 000 zł między lokaty oprocentowane na 3% i 4% na podstawie wypłaty po roku.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Korzystamy z podanego układu. Od drugiego równania odejmujemy pierwsze pomnożone przez (1{,}03): [ (1{,}03x+1{,}04y)-1{,}03(x+y)=10340-10300. ] Zatem (0{,}01y=40), czyli (y=4000). Wtedy (x=10000-4000=6000).
Do banku (A) wpłacono (6000) zł, a do banku (B) (4000) zł.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
To ćwiczenie sprawdza, czy potrafisz ułożyć i rozwiązać układ równań wyznaczający części inwestycji 20 000 zł ulokowane przy dwóch stopach różniących się o punkt procentowy.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (x) będzie kwotą w banku (X), a (y) — w banku (Y). Oprocentowanie w banku (Y) wynosi (4{,}5%), więc [ \begin{cases} x+y=20000,\ 1{,}035x+1{,}045y=20840. \end{cases} ] Od drugiego równania odejmujemy (1{,}035(x+y)=20700): [ 0{,}01y=140, ] stąd (y=14000) i (x=6000).
W banku (X) ulokowano (6000) zł, a w banku (Y) (14000) zł.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
Liczymy tu masy stopów zawierających 40% i 80% miedzi, które po zmieszaniu dadzą 2 kg materiału o stężeniu 50%.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech (x) i (y) oznaczają masy stopów o zawartości odpowiednio (40%) i (80%) miedzi. W dwóch kilogramach stopu (50%) znajduje się (1) kg miedzi, zatem [ \begin{cases} x+y=2,\ 0{,}4x+0{,}8y=1. \end{cases} ] Po odjęciu (0{,}4(x+y)=0{,}8) od drugiego równania dostajemy (0{,}4y=0{,}2), czyli (y=0{,}5) kg i (x=1{,}5) kg.
Należy użyć (1{,}5) kg stopu (40%) i (0{,}5) kg stopu (80%).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem