NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 144

Niech krótszy bok ma długość $y$, a dłuższy $x$. Wówczas $x=2y+3,qquad x+y=18.$ Po podstawieniu $2y+3+y=18$, więc $y=5$ cm, $x=13$ cm. Pole wynosi $P=xy=13\cdot5=65\ \mathrm{cm}^2.$

Niech boki wyjściowego prostokąta mają długości $x,y$. Z obwodu $x+y=28$.

Przypadek 1: $\frac{x+2}{y+6}=\frac13$. Stąd $3x=y$, a wraz z $x+y=28$ otrzymujemy $x=7$, $y=21$.

Przypadek 2: $\frac{y+6}{x+2}=\frac13$. Stąd $x=3y+16$, więc $4y+16=28$. Otrzymujemy $y=3$, $x=25$.

Sprzedano $\frac34\cdot280=210$ biletów. Niech $x$ oznacza liczbę biletów ulgowych, a $y$ — normalnych. Wtedy $x+y=210,qquad 30x+35y=7000.$ Od drugiego równania odejmujemy $30(x+y)=6300$: $5y=700$, zatem $y=140$, $x=70$.

Niech $x$ oznacza cenę biletu normalnego, a $y$ — ulgowego. W sobotę sprzedano $72-50=22$ bilety ulgowe. W niedzielę biletów normalnych było $112-42=70$. Otrzymujemy

Eliminacja daje $x=10$, a następnie $y=7$.

Niech $x$ będzie cyfrą dziesiątek pierwszej liczby, a $y$ — cyfrą jedności. Liczby mają postać $10x+y$ i $10y+x$. Zakładając dodatnią różnicę pierwszej i drugiej, otrzymujemy $9(x-y)=36,qquad 11(x+y)=110.$ Zatem $x-y=4$, $x+y=10$, więc $x=7$, $y=3$.

Z warunków zadania $A+B=121,qquad A=2B+7.$ Po podstawieniu $3B+7=121$, więc $B=38$, a $A=83$. Rzeczywiście liczby $83$ i $38$ mają przestawione cyfry.

Warunki liczbowe dają układ $A-B=320,qquad A+B=388.$ Po dodaniu równań $2A=708$, więc $A=354$ i $B=34$. Usunięcie cyfry dziesiątek $5$ z liczby $354$ rzeczywiście daje $34$.

Zapiszmy $y=100a+10b+c$ oraz $x=100c+10b+a$. Wtedy $x-y=99(c-a)=396,$ więc $c-a=4$. Z sumy cyfr $a+b+c=16$ otrzymujemy $b=12-2a$. Cyfra $a$ jest niezerowa, a $c=a+4\le9$. Sprawdzamy dopuszczalne wartości $a=2,3,4,5$; warunek dwóch jednakowych cyfr spełnia tylko $a=b=4$, $c=8$. Zatem $y=448$, $x=844$.

Niech liczba osób stojących wynosi $t$. Siedzących jest wtedy $4t$, a $t+4t=180,$ zatem $t=36$ i siedzą $144$ osoby. Jeśli ustawiono $k$ trzyosobowych kanap, to liczba miejsc siedzących wynosi $60+3k=144.$ Stąd $3k=84$, czyli $k=28$.