NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 143

Niech $x$ oznacza obecny wiek ojca, a $y$ — syna. Wówczas $x-9=6(y-9),\qquad (x+9)+(y+9)=85.$ Po uproszczeniu $x=6y-45$ oraz $x+y=67$. Zatem $7y=112$, więc $y=16$, $x=51$.

Niech $x$ będzie obecnym wiekiem każdej z bliźniaczek, a $y$ — wiekiem brata. Z warunków: $2(x-2)+(y-2)=45,qquad 2(x+3)=(y+3)+12.$ Po uproszczeniu otrzymujemy $2x+y=51$ oraz $2x-y=9$. Dodanie równań daje $4x=60$, zatem $x=15$, $y=21$.

Niech $x$ i $y$ oznaczają liczby monet 2- i 5-złotowych. Wtedy $x+y=30,qquad 5{,}21x+6{,}54y=169{,}6.$ Podstawiamy $x=30-y$: $156{,}3+1{,}33y=169{,}6,$ stąd $y=10$, a $x=20$.

a) Niech $x$ i $y$ oznaczają obecny wiek Darii i Marii. Mamy $x-5=\frac{y-5}{2},\qquad y-x=5.$ Po podstawieniu $y=x+5$ do pierwszego równania otrzymujemy $x-5=\frac x2$, więc $x=10$, $y=15$.

b) Niech $x$ oznacza wiek Olka, a $y$ — Alka. Warunki mają postać $x+3=\frac32(y+3),\qquad x-9=2(y-9)+2.$ Po uproszczeniu: $2x-3y=3$ oraz $x=2y-7$. Stąd $y=17$, $x=27$.

Osiem monet 2-złotowych ma wartość $16$ zł. Niech $x$ i $y$ oznaczają liczby monet 1- i 5-złotowych. Pozostało $12$ monet o wartości $32$ zł:

Po odjęciu równań $4y=20$, więc $y=5$, $x=7$.

Niech $x,y,z$ oznaczają liczby monet odpowiednio 1-, 2- i 5-złotowych.

Po podstawieniu $z=2x+2$ dwa pierwsze równania przyjmują postać $11x+2y=90$ oraz $3x+y=30$. Podwojenie drugiego i odjęcie daje $5x=30$, więc $x=6$, $y=12$, $z=14$.

Niech $x$ i $y$ oznaczają liczby monet 5- i 10-centowych. Jedna moneta 25-centowa jest już uwzględniona, zatem $x+y=11,qquad 5x+10y=75.$ Po podzieleniu drugiego równania przez $5$ mamy $x+2y=15$. Odjęcie pierwszego równania daje $y=4$, a więc $x=7$.

Niech $x,y,z$ oznaczają liczby monet 5-, 10- i 25-centowych. Wtedy $x+y+z=29,qquad 5x+10y+25z=400,qquad y=3x.$ Po podstawieniu $y=3x$ mamy $z=29-4x$. Równanie wartości daje $35x+25(29-4x)=400$, czyli $-65x=-325$. Stąd $x=5$, $y=15$, $z=9$.