NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 140

Z pierwszego równania każdego układu wyznaczamy $z$, podstawiamy je do dwóch pozostałych równań, a następnie rozwiązujemy układ z niewiadomymi $x,y$.

a) $z=10-x-y$. Po podstawieniu otrzymujemy $x+y=15$ i $x=20$. Stąd $y=-5$, $z=-5$.

b) $z=7-3x-2y$. Dwa pozostałe równania dają $-8x-4y=-20$ oraz $8x-y=15$. Po dodaniu: $-5y=-5$, więc $y=1$, $x=2$, $z=-1$.

c) $z=-x-2y$. Po podstawieniu mamy $-x-8y=1$ oraz $7x+12y=-1$. Eliminacja daje $y=-\frac3{22}$, $x=\frac1{11}$, a następnie $z=\frac2{11}$.

a) Z trzeciego równania $y=-1$. Drugie daje $z=4$, a pierwsze $x=2$. Wszystkie wartości są całkowite.

b) Z układu $2y+3z=16$, $3y-z=2$ otrzymujemy $y=2$, $z=4$. Pierwsze równanie daje $x=-1$. Wszystkie wartości są całkowite.

c) Odjęcie pierwszego równania od drugiego daje $x=2$. Pozostałe równania sprowadzają się do $2y-z=6$ i $3y+z=1$, więc $y=\frac75$, $z=-\frac{16}{5}$. Trójka nie jest całkowita.

d) Odjęcie pierwszego równania od trzeciego daje $-2y=2$, czyli $y=-1$. Następnie $x+z=6$ i $x-2z=-6$, stąd $z=4$, $x=2$. Wszystkie wartości są całkowite.

a) Oznaczmy liczby przez $a,b,c$. Z treści:

$$a+b+c=36,\qquad a+b=2c,\qquad b+c=a+10.$$

Z dwóch pierwszych warunków $3c=36$, więc $c=12$ i $a+b=24$. Trzeci warunek daje $a-b=2$. Stąd $a=13$, $b=11$.

b) Mamy

$$a+b+c=27,\qquad 2c=a+b+6,\qquad 2b=a+c-6.$$

Ponieważ $a+b=27-c$, drugi warunek daje $3c=33$, czyli $c=11$. Zatem $a+b=16$. Wstawiając $a=16-b$ do ostatniego równania, otrzymujemy $3b=21$, więc $b=7$, $a=9$.