NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 139

Eliminujemy jedną z niewiadomych przez dodanie odpowiednio pomnożonych równań.

a) Bez mnożenia równań otrzymujemy $3x=15$, więc $x=5$, $y=3$.

b) Pierwsze równanie dodane do podwojonego drugiego daje $17x=17$. Stąd $x=1$, $y=-3$.

c) Trzykrotność pierwszego równania dodajemy do drugiego. Dostajemy $y=18$, a następnie $x=\frac{49}{2}=24{,}5$.

d) Po pomnożeniu pierwszego równania przez $2$, a drugiego przez $5$, i dodaniu mamy $-14x=-28$. Zatem $x=2$, $y=\frac12$.

e) Drugie równanie jest dwukrotnością pierwszego. Układ jest nieoznaczony, a jego rozwiązania spełniają $y=-\frac23x+5$.

f) Pierwsze równanie upraszcza się do $x+2y=1$, natomiast drugie ma postać $x+2y=6$. Układ jest sprzeczny.

Najpierw usuwamy mianowniki i nawiasy.

a) Otrzymujemy $x+y=-4$ oraz $-x+y=12$. Stąd $y=4$, $x=-8$.

b) Układ upraszcza się do $-3x+2y=5$, $x+2y=1$. Odejmowanie daje $x=-1$, następnie $y=1$.

c) Pierwsze równanie daje $x=5y$, a drugie $x-y=-20$. Zatem $y=-5$, $x=-25$.

d) Po uproszczeniu mamy $-4x+7y=35$ oraz $x=0$, więc $y=5$.

e) Po pomnożeniu równań przez $100$ otrzymujemy $x-y=-7$ oraz $3x-2y=-16$. Stąd $x=-2$, $y=5$.

f) Układ jest równoważny $2x-y=1$, $-8x+5y=1$. Rozwiązanie to $x=3$, $y=5$.

Po rozwinięciu nawiasów i usunięciu mianowników otrzymujemy układy liniowe.

a) $x-2y=5$, $-10x+2y=5$. Po dodaniu: $-9x=10$, więc $x=-\frac{10}{9}$ i $y=-\frac{55}{18}$.

b) Drugie równanie upraszcza się do $x-y=-1$. Razem z $3x-y=5$ daje to $x=3$, $y=4$.

c) Dostajemy $3x+2y=19$, $2x-y=8$. Stąd $x=5$, $y=2$.

d) Układ ma postać $2x-3y=8$, $14x+13y=-12$. Eliminacja daje $x=1$, $y=-2$.

e) Pierwsze równanie redukuje się do $x+y=0$, a drugie do $5x-3y=-8$. Zatem $x=-1$, $y=1$.

f) Oba równania są równoważne $x+5y=6$. Układ jest nieoznaczony: $y=-\frac15x+\frac65$.

a) Po podzieleniu pierwszego równania przez $3$ mamy $x-6y=\frac n3$. Równanie drugie może opisywać prostą równoległą tylko dla $m=1$. Wtedy dla $n=3$ równania są identyczne, a dla $n=1$ mają identyczne lewe i różne prawe strony.

b) Układ upraszcza się do $(2-2m)x-y=-1$ oraz $(m+1)x+y=n$. Po dodaniu otrzymujemy $(3-m)x=n-1$. Zanik współczynnika występuje dla $m=3$. Wtedy dla $n=1$ równania są identyczne, a dla $n=3$ — sprzeczne.

Dla pozostałych dopuszczalnych par parametrów układy są oznaczone.

a) Drugie równanie mnożymy przez $5$. Po dodaniu go do pierwszego otrzymujemy $0=9$, więc układ jest sprzeczny.

b) Drugie równanie mnożymy przez $1{,}5$. Otrzymujemy dokładnie $1{,}5x-2y=6$, czyli pierwsze równanie. Układ jest nieoznaczony.

c) Pierwsze równanie mnożymy przez $\frac34$ i dodajemy do drugiego. Lewe strony redukują się do zera, natomiast prawa daje $3+5=8$, zatem $0=8$. Układ jest sprzeczny.