NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 13

Dzielimy kolejne liczby przez ich najmniejsze dzielniki pierwsze:

$$\begin{aligned} 99&=3^2\cdot11,\\ 720&=2^4\cdot3^2\cdot5,\\ 770&=2\cdot5\cdot7\cdot11,\\ 1024&=2^{10},\\ 1323&=3^3\cdot7^2. \end{aligned}$$

Korzystamy z rozkładów na czynniki pierwsze.

a) $18=2\cdot3^2$, $30=2\cdot3\cdot5$, zatem

$\operatorname{NWD}(18,30)=6,\qquad \operatorname{NWW}(18,30)=90.$

b) $15=3\cdot5$, $50=2\cdot5^2$, zatem

$\operatorname{NWD}(15,50)=5,\qquad \operatorname{NWW}(15,50)=150.$

c) $24=2^3\cdot3$, $72=2^3\cdot3^2$, zatem

$\operatorname{NWD}(24,72)=24,\qquad \operatorname{NWW}(24,72)=72.$

d) $144=2^4\cdot3^2$, $192=2^6\cdot3$, zatem

$\operatorname{NWD}(144,192)=48,\qquad \operatorname{NWW}(144,192)=576.$

e) $84=2^2\cdot3\cdot7$, $105=3\cdot5\cdot7$, zatem

$\operatorname{NWD}(84,105)=21,\qquad \operatorname{NWW}(84,105)=420.$

f) $196=2^2\cdot7^2$, $420=2^2\cdot3\cdot5\cdot7$, zatem

$\operatorname{NWD}(196,420)=28,\qquad \operatorname{NWW}(196,420)=2940.$

Liczby $x$ i $y$ nie mają żadnego wspólnego czynnika pierwszego, są więc względnie pierwsze. Stąd

$\operatorname{NWD}(x,y)=1.$

W rozkładzie najmniejszej wspólnej wielokrotności trzeba wziąć wszystkie czynniki obu liczb. Ponieważ żaden się nie powtarza, ich iloczyn jest równy $xy$:

$\operatorname{NWW}(x,y)=xy.$