NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 133

a) Po usunięciu mianowników pierwszy warunek ma postać $2x+y=-2$, a drugi $3x+y=-5$. Odejmowanie daje $x=-3$, następnie $y=4$. Obie liczby są całkowite.

b) Otrzymujemy $2x+30y=21$ oraz $x-8y=1$. Stąd $y=\frac{19}{46}$ i $x=\frac{99}{23}$, więc para nie jest całkowita.

c) Równania są równoważne układowi $3x-4y=-10$, $7x+9y=25$. Rozwiązanie to $x=\frac2{11}$, $y=\frac{29}{11}$ — nie są to liczby całkowite.

d) Po pomnożeniu równań odpowiednio przez $6$ i $8$ dostajemy $3x+2y=11$, $x-2y=16$. Stąd $x=\frac{27}{4}$, $y=-\frac{37}{8}$, więc para nie jest całkowita.

Upraszczamy równania i porównujemy otrzymane proste.

a) Dostajemy $5x-12y=1$ oraz $5x-12y=8$. Lewe strony są identyczne, a prawe różne, więc układ nie ma rozwiązań.

b) Układ sprowadza się do $2x-3y=4$, $2x+3y=4$. Ma jedno rozwiązanie $(2,0)$.

c) Otrzymujemy $3x-7y=-12$ oraz $5x+7y=3$. Współczynniki nie są proporcjonalne, więc układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

d) Dostajemy $-3x+5y=12$ oraz $-3x+5y=2$. Układ jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.

Po rozwinięciu iloczynów wyrazy kwadratowe redukują się.

a) Pierwsze równanie daje $3x+2y=7$, a drugie $x-2y=-3$. Po dodaniu: $4x=4$, więc $x=1$ i $y=2$.

b) Skan strony 133 potwierdza, że w pierwszym równaniu występują czynniki $(y-\sqrt2\,x)(y+\sqrt2\,x)$, a nie $\sqrt{2x}$ zapisane przez OCR. Iloczyn jest równy $y^2-2x^2$, więc pierwsze równanie upraszcza się do $x-y=3$. Drugie po rozwinięciu daje $2x+y=-7$. Stąd $x=-\frac43$, $y=-\frac{13}{3}$.

a) Drugie równanie po rozwinięciu ma postać $2x+3y=7$, identyczną z pierwszym. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań — jest nieoznaczony.

b) Drugie równanie jest równoważne $4x-y=4$, podczas gdy pierwsze ma postać $4x-y=2$. Układ jest sprzeczny.

c) Oba równania sprowadzają się do $x-2y=-8$. Układ jest nieoznaczony.

Układ jest sprzeczny, gdy drugie równanie opisuje prostą równoległą i różną; nieoznaczony, gdy opisuje tę samą prostą; oznaczony, gdy proste mają jeden punkt przecięcia.

Możemy więc wybrać:

a) $6x-8y=1$ — lewa strona jest dwukrotnością pierwszej, lecz prawa nie.

b) $6x-8y=4$ — całe równanie jest dwukrotnością pierwszego.

c) $3x-8y=2$ — współczynniki nie są proporcjonalne do $(3,-4)$.

Badamy wyznacznik macierzy współczynników, a gdy jest zerowy — porównujemy równania.

a) Wyznacznik wynosi $m-2$. Dla $m=-2,0$ jest niezerowy, więc układ jest oznaczony. Dla $m=2$ oba równania są identyczne — układ nieoznaczony.

b) Wyznacznik wynosi $3(2-m)$. Dla $m=-2,0$ układ jest oznaczony. Dla $m=2$ lewe strony są identyczne, a prawe wynoszą $4$ i $6$, więc układ jest sprzeczny.

c) Wyznacznik wynosi $m^2-4$. Dla $m=0$ układ jest oznaczony. Dla $m=-2$ równania są równoważne — układ nieoznaczony. Dla $m=2$ mają tę samą lewą stronę i różne prawe, więc układ jest sprzeczny.

Dodajemy równania stronami:

$2x^2=8,$

więc $x^2=4$ i $x=\pm2$. Z drugiego równania wynika $y^2=x^2=4$, zatem niezależnie $y=\pm2$. Wszystkie cztery kombinacje spełniają układ.